中考数学压轴题赏析 知识精讲.docVIP

中考数学压轴题赏析 知识精讲 李松涛 初中即将毕业的同学们在准备升学考试的时候历来重视中考的压轴题，因为压轴题是难度较大的综合题，要想完整地解答综合题，一方面要掌握扎实的基础知识，另一方面又要有正确的解题思想、方法，能够灵活地运用所学的知识解决压轴题中提出的问题。下面这些例题选自2007年各地中考压轴题，希望同学们在阅读的过程中找到解决问题的方法。 例1. （吉林省） 如图①，在边长为的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交的直角边于G，连接HG、EB。设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为，AE、EB、BA围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为0）。E到达C、F到达A停止。若E的运动时间为xs，解答下列问题： （1）当时，直接写出以E、F、G、H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，。 （2）①若y是与的和，求y与x之间的函数关系式。 ②求y的最大值。 解：（1）以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形。 正方形边长为， ，过B作于O，则。 解得（舍去）， 当时，。 （2）①当时， 当时， ②解法1：当时， 当时，y的最大值为50。 当时， ， 当时，y的最大值为82。 综上可得，y的最大值为82。 解法2： 当时，y的最大值为50。 当时，y的最大值为82。 综上可得，y的最大值为82。 例2. （重庆市） 已知：在中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。 （1）求点C的坐标； （2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标：若不存在，请说明理由。 注：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为。 解：（1）过点C作轴，垂足为H。 在中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2， 。 由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=， ， 点坐标为。 （2）抛物线经过C（），A（）两点， 解得： 此抛物线的解析式为：。 （3）存在。因为的顶点坐标为即为点C。 轴，设垂足为N，，因为∠BOA=30°，所以， 。 作，垂足为Q，，垂足为E。 把， 得。 同理： 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需。 即， 解得：（舍） 点坐标为。 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标为。 例3. （荆门市） 如图①，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）。现将沿PB翻折，得到；再在OC边上选取适当的点E，将沿PE翻折，得到，并使直线PD、PF重合。 （1）设P，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值； （2）如图②，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； （3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。 解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°， 。即 。 且当时，y有最大值。 （2）由已知，、均为等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）。 设过此三点的抛物线为， 则， （3）由（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件。 直线PB为，与y轴交于点（0，）。 将PB向上平移2个单位则过点E（0，1）， 该直线为 由 得，。 故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件。 例4. （大连市） 如图，直线AB交x轴于点A（2，0），交抛物线于点B（1，），点C到各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D，当时，在直线OC和抛物线上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。 解：如图①， 设直线AB的解析式为经过点A（2，0），B（1，）， 解得 抛物线经过点B（1，）， 。 又点C到各顶点距离相等，即点C是三边的垂直平分线的交点，连接BC，并延长交OA于E，点E的坐标为（1，0）。 在中，， 设直线OC的解析式为， 。 设直线AC的解析式为 解得 直线AC交y轴于点D， 则点D（0，），。 当OD//PQ时，①时，四边形DOPQ为等腰