5二维随机变量汇编.ppt

* * * * * 第三章 随机向量 * §3.1 二维随机变量 也称为n元随机向量。 * (一)离散型 把(ξ，η)的所有可能取值与相应概率列成表，称为 (ξ，η)的联合概率分布表。 η ξ x1 x2 … xi … 定义3 如果二元随机变量(ξ，η)所有可能取的数对 为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的 数对，则称(ξ，η)为二元离散型随机变量。 * 也可用一系列等式来表示 P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…) 称为ξ与η的联合分布律。 联合分布有如下性质： (1) pij≥0 例1 同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取 1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。设“ξk=0”表 示第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2) 写出(ξ1, ξ2)的联合分布律。 * 解：试验结果由4个基本事件组成。 P(ξ1=0, ξ2=0) =P(ξ1=0)P(ξ2=0| ξ1=0) =0.1 P(ξ1=0, ξ2=1) =0.3 P(ξ1=1, ξ2=0) =0.3 P(ξ1=1, ξ2=1) =0.3 列成联合概率分布表： ξ2 ξ1 0 1 0 1 0.1 0.3 0.3 0.3 * (二)连续型 它有性质： 对任意平面区域D, * 解：P(ξ+ η1) 同样地 P( η ξ) 2 1 1 0 x y 2 1 1 0 x y * * 3.4 边缘分布 3.4.1边缘分布函数 * 若已知联合分布，则 P(ξ=xi) 记作 i=1,2,… P(η=yj) 记作 j=1,2,… 表示联合概率表中第i行各概率之和,称为x的 边缘概率密度。 它表示，不论η取何值，ξ取值xi的概率 的含义类似， 称为y的边缘概率密度。 边缘概率密度 * 例2 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个 邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写 出(ξ1， ξ2)的联合分布以及ξ1， ξ2的边缘分布。 解：试验共有42种不同的等可能结果。 p12=p21=p22=0 * 列成联合分布表： ξ1 ξ2 0 1 2 即边缘分布为 * 分别称为二元随机变量(ξ，η)中关于ξ及关于η的 边缘分布函数。 求导可得相应的概率密度： 是关于ξ的边缘概率密度。 是关于η的边缘概率密度。 * 解：当axb时 在其它点 ＝0 * 解：当0≤x≤1时 =0 同理可求出 * (三)随机变量的相互独立性 判断独立的充要条件： p(x,y)=pX(x)pY(y) pij=pi.p.j * 例8 在例2中ξ1与ξ2是否相互独立？ 解：已经得到 ξ1 ξ2 0 1 2 故ξ1与ξ2不是相互独立的。 * 例9 掷两颗骰子，用ξ与η分别表示第一颗与第二颗的 点数。ξ与η是否独立。 ξ η 可见对所有i,j有 故ξ与η是相互独立的。 * 例10 例6中的随机变量ξ与η是否相互独立？ 可见，对任何x,y有 故ξ与η相互独立。 * 故ξ与η不独立。 例11 例7中的随机变量ξ与η是否相互独立？ * §3.7 随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 2. Z=max{X,Y}和Z=min{X,Y} 对于二维连续型随机向量（X,Y）本节只考虑以下两种函数关系： 注：其中X和Y相互独立。 * 离散函数的卷积公式 设离散随机变量 X 与 Y 独立， 则 Z=X+ Y 的分布律为 * 最大值与最小值分布 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布律. 解: X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1 P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4 * 连续函数的卷积公式 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为 * 卷积公式的应用 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布. 解： 所以 Z = X+ Y ? N(0, 2). 进一步的结论见后 * 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～e(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数. 解: 被积函数的非零区域为： 0x1 且 z?x0 用卷积公式： (见下图) * x z 1 z = x 因此有 (1) z 0 时 fZ(z) = 0 ; (2) 0 z 1