4.4有理函数的积分汇编.ppt

2. 求不定积分 解： 原式 = 前式令 后式配元 《 高 等 数 学 》 第四节 基本积分法: 换元积分法; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 直接积分法; 一、有理函数的积分 有理函数 时, 为假分式 时, 为真分式; 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 ⑴ 分母中含有因式 真分式化为若干部分分式的常用方法 特别k = 1时, 分解为 则分解为 ⑵ 分母中含有因式 特别k = 1时, 分解为 ⑶ 常用方法(拼凑法, 赋值法, 待定系数法, 混合法) 则分解为 例如, 真分式 可分解为以下部分分式: 例1. 将下列真分式分解为部分分式: 解: (1) 拼凑法 (2) 赋值法1 故 得 令 得 令 得 (2) 赋值法2 故 说明：可以认为, 赋值法2是赋值法1的快捷方式 (3) 待定(比较)系数法 原式 = 通分得 比较系数得 解得 (4) 混合法 原式 = 四种典型部分分式的积分 变分子为 再分项积分 例2. 求 解: 已知 例1(3) 例3. 求 解: 原式 思考: 如何求 提示: 变形方法同例3, 并利用书 P363 公式20 递推. 例4. 求 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便, 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. *例5. 求 解: 原式 *例6. 求 解: 原式 (见P363 公式21) 注意本题技巧 本题用常规方法解很繁 按常规方法解 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d , 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A, B, C, D. 第三步 分项积分. 此解法较繁 ! 二、可化为有理函数的积分举例 设 表示三角函数有理式, 令 万能代换 (参考下页例7) t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 例7. 求 解: 令 则 例8. 求 解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便. 的有理式 用代换 例9. 求 解法1 令 原式 例9. 求 *解法2 令 原式 *例10. 求 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 2. 简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式, 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 例11. 求 解: 令 则 原式 例12. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 例13. 求 解: 令 则 原式 内容小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法, 简便计算. 简便, 思考与练习 如何求下列积分更简便 ? 解: 1. 2. 原式 作业 P218 3; 6; 9; 13; 15; 17; 20; 23 备用题 1. 求不定积分 解： 令 则 故 分母次数较高, 宜使用倒代换. 《 高 等 数 学 》