酒杯中的解析几何问题.pptVIP

* 酒杯中的解析几何问题 问题1　张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰三角形，称之为直角酒杯，另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯k 口宽4cm，杯深8cm ,称之为抛物线酒杯。 　　一次，张华在游戏中注意到一个现象，若将一此大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底。但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯底部，张华想用所学数学知识研究一下，当玻璃球的半径 r 为多大时，玻璃球一定会触及酒杯底部。你能帮助张华解决这个问题吗？ 解：如图，以杯底中心为原点，建立直角坐标系， 设抛物线方程为 x2 = 2py ( p0). 将 x = 2 , y = 8 代入抛物线方程，得 p = 1/4, ∴抛物线方程为　x2 = y/2 解法1　设圆心在y正半轴且过原点的圆方程为 　　　 x2 + ( y －r)2 = r 2 将它代入抛物线方程，消去 x ，得 y2 + (1/2 －2r )y = 0 ∴ y1 = 0 , y2 = 2r －1/2 要使玻璃球在杯中能触及酒杯底部， 则要求 y2 = 2r －1/2 ≤0 即当0r≤1/4时，玻璃球一定会触及酒杯底部 解：如图，以杯底中心为原点，建立直角坐标系， 设抛物线方程为 x2 = 2py ( p0). 将 x = 2 , y = 8 代入抛物线方程，得 p = 1/4, ∴抛物线方程为　x2 = y/2 解法2　设抛物线上动点P的坐标为（a , 2a2),过原点的圆方程为　x2 + ( y －r)2 = r 2 若要使玻璃球在杯中能触及酒杯底部，则P到圆心（0，r）的距离要恒大于等于r 即 a2 + (2a2－r)2≥r2恒成立　， 即r≤a2 + 1/4　恒成立， 　∴　0r≤1/4 问题2　张华在酒店里又见到了一种轴截面近似椭圆的椭圆酒杯，测量后得知杯口宽 4cm，杯深 9cm，中间最宽处距杯底为 5cm，请你帮助张华研究一下，如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径r多大时，玻璃球一定会触及这种椭圆酒杯的杯底？ 解：如图，椭圆方程为 9x2+4y2=100 圆的方程为 x2 + (y + 5 －r)2 = r 2 代入椭圆方程消去 x ,得 13y2 + 18(5－r)y + 125－90r = 0 y1 = -5 , 要使玻璃球触及杯底，则要 y2 ≤－5, 即当0r≤20/9时，玻璃球一定会触及杯底。 　　实际上，由于杯口的半径2＜20/9，任何能放入酒杯的玻璃球都会触及杯底。 问题3　定长为2的线段AB的两个端点在抛物线 x2 = y/2 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标。 解法一：设AB的方程为 y = kx + b , M(x,y) y = kx + b x2 = y/2 由　　　　　　消去y，得2x2－kx－b=0 x = (x1+x2)/2 = k /2 y = kx + b k = 4x b = y －4x2 ∵|AB|=2, 由弦长公式得：(1+k2)[(x1+x2)2－4x1x2]=4 ∴(1+k2)(k2/4 +2b) = 4 , 将以上k, b 的值代入得 (1+16x2)(y－2x2) = 2 此时 x = ±√3/2 问题3　定长为2的线段AB的两个端点在抛物线 x2 = y/2 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标。 解法二：直线方程设为参数方程 解法三：运用第二定义解 ｜MD|=(|AA′|+|BB′|)/2=(|AF|+|BF|)/2 由于｜AB｜=2大于通径1/2,因此 ｜AF｜＋｜BF｜≥|AB| ∴y=|MD|－1/8≥|AB|/2－1/8=7/8 当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立。 以上部分略 问题4　在问题1、2中，我们可以将实际问题转化成数学问题，并加以解决，现在对纯数学形式的问题3，我们则可以反其道而行之。 　　设想在张华家中的抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的磨擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒的中心（即细棒的重心）处于最低位置的状态。显然，答案就是问题3的结果，当细棒通过抛物线酒杯的焦点时，细棒将达到平衡状态。 　　进而，我们就可以提出一个更一般的问题：如果细棒的长度为m，那么对于不同的m值，细棒的平衡状态有差异吗？ 答案是： （1）当m≥2p＝1/2,时，细棒过抛物线的焦点时达到平衡状态；（2）当m＜2p=1/2时，细棒呈水平状态时重心最低，达到平衡状态。 * * *