21-第二章圆锥曲线与方程(复习1).doc

复习课: 第二章 圆锥曲线与方程（1） 教学目标 重 点：理解椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系. 难 点：圆锥曲线标准方程的推导，直线与圆锥曲线的位置关系以及曲线中的定点、定值、范围问题. 能力点：加强运用数形结合的思想方法，提高分析问题、解决问题的能力重视方程思想的运用. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点： 求轨迹方程时忽视不满足条件的点；求直线与圆锥曲线的位置关系“机械的”应用判别式法；求直线方程时斜率不存在的情况易被忽略. 学法与教具 1.学法：归类讲授、分组讨论法. 2.教具：多媒体. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1. 椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质（以焦点在x轴上的为例）. 曲线 椭 圆 双曲线 抛物线 图像 定义 标准方程 顶点坐标 焦点坐标 离心率 e=1 准线方程 渐近线 弦长公式 三、【范例导航】 (一)求曲线方程 例1 已知，，以为一个焦点作过,的椭圆，求椭圆另一个焦点的轨迹方程. 【分析】依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化. 【解答】由题意知： =13, =15， =14 又 即 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的一支（下支）， 又因为 故点的轨迹方程为：. 【点评】利用圆锥曲线的定义直接求相关点的轨迹，是常考的题型.常用的求曲线方程的基本方法：直接法，定义法，代入法，参数法及求弦中点轨迹时常用“设而不求”法.仍需强调的是不管用么方法求轨迹方程，都需检验所求方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补上. 变式训练: 设圆 与两圆 中的一个内切，另一个外切. 求圆 的圆心轨迹方程 答案： （二）圆锥曲线的几何性质的简单应用 例2 已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．【解】得． 设双曲线方程为，则 得 故所求双曲线方程为 【点评】圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方程，准确刻画它们的几何性质.通常由圆锥曲线方程研究圆锥曲线几何性质时，常把圆锥曲线方程化为标准方程，再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称性等几何性质. 变式训练: 抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程． 答案： . （三）直线与圆锥曲线 例3已知椭圆离心率为，且短轴长为2. （1）求椭圆的方程; （2）若过点与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,且,求直线的方程. 【分析】考查直线与圆锥曲线中关于弦的问题. 【解答】(1) 由题意可知：， 又， 所以， 椭圆的方程为. (2) 设直线的方程为, 由消去得: ∴, ∵, ∴, 即 ∴ 所以直线的方程为,或. 【点评】处理直线与圆锥曲线时，常用联立消元法得到一元二次方程，利用根与系数的关系利用代数法解题. 变式训练: 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 已知点和直线：，线段是椭圆的一条弦，直线垂直平分弦，求实数的值． 答案 （1）.（2） （四）圆锥曲线的简单应用 例4已知点是椭圆上的一点，是椭圆的两焦点，若，试求： (1)椭圆方程； (2)的面积． 【分析】利用圆锥曲线的性质解题. 【解】，， ∵， ∴， 即，解得， ∴设椭圆方程为. 又点在椭圆上， ∴， 解得或， 又，∴舍去， 故所求椭圆方程为. 法二： ∵ ∴为直角三角形， ∴. 又∴， ∴设椭圆方程为 (以下同法一)． （2） 点纵坐标的值即为边上的高， ∴ 法二： 由椭圆定义知： ① 又 ② ①－②得， ∴. 变式训练: 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程. （2） 【点评】圆锥曲线中的最值问题主要有：与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等.研究的常见途径有两个：（1）利用平面几何中的最值结论； （2）把几何量用函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值，要注意的是借助代数方法求最值时要特别注意自变量的取值范围. 四、【解法小结】 1. 求曲线方程的常用方法有： (1) 直接法(2) 代入法 (3) 定义法 2. 利用圆锥曲线方程研究圆锥曲线几何性质时，常把圆锥曲线方程化为标准