2012高考总复习《走向清华北大》精品课件29等比数列.ppt

[反思感悟]由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确定q≠1,否则不可断定用q≠1时的公式. 类型四 等比数列前n项和及其性质 解题准备:1.等比数列的前n项和公式: 2.等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1,q,an,n,Sn.使用公式时,必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q可能等于1,则需分q=1和q≠1两种情况进行讨论. 【典例4】设正项等比数列{an}的首项a1= 前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0. (1)求{an}的通项; (2)求{nSn}的前n项和Tn. [分析](1)利用S2n-Sn?S3n-S2n…的关系化简210S30-(210+1)S20+S10=0. (2)利用错位相减法求和. [解](1)由210S30-(210+1)S20+S10=0得 210(S30-S20)=S20-S10, 即210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a20, 可得210?q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…+a20. 因为an0,所以210q10=1, 解得q= ,因而an=a1qn-1= (n∈N*). * * 第二十九讲等比数列 回归课本 1.等比数列的定义及等比中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示. (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系为am·an=ap·aq,如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=± (ab0). 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0);其前n项和公式为: 3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列. (2)若{an}是等比数列,则{λan}?{|an|}皆为等比数列,公比分别为q和|q|(λ为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂. (4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列. (5)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与 仍为等比数列,其中m是不为零的常数. (6)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件,这时 4.等比数列的判定方法 (1)定义法: (q是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. (2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. (3)中项公式法:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an} 是等比数列. (4)前n项和公式法:Sn= qn- =kqn-k(k= 是常数,且q≠0,q≠1)?{an}是等比数列. 考点陪练 1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列{an}( ) A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列 解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从第二项起成等差数列. 答案:D 2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81 C.128 D.243 解析:∵{an}是等比数列,∴ 又∵a1+a1q=3,∴a1=1,a7=a1q6=1×26=64. 答案:A 答案:C 4.(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B 5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:依题意得