数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第60课　椭圆的几何性质Word版含解析.docx

第60课　椭圆的几何性质【自主学习】第60课 椭圆的几何性质(本课时对应学生用书第153~157页)自主学习　回归教材1. (选修1-1P30例1改编)椭圆+=1的长轴长为　，离心率为　，右焦点坐标为　.【答案】10　　(4，0)2. (选修1-1P35习题4改编)若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为　 .【答案】(-∞，-1)∪【解析】由题意有2-m|m|-10，解得1m或m-1.3. (选修1-1P60复习题7改编)若以椭圆+=1(ab0)的左焦点F(-c，0)为圆心、c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是　.【答案】【解析】由条件得椭圆的左准线方程为x=-，从而由-c-c，得a22c2，所以e∈.4.(选修1-1P35习题9改编)椭圆C：+=1上与两个焦点的连线互相垂直的点的坐标是　 .【答案】(-3，-4)，(-3，4)，(3，-4)，(3，4)【解析】由题知椭圆C的两个焦点的坐标分别是(5，0)，(-5，0)，所以所求的点即为以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆的交点，联立方程组解得或或或1. 椭圆的标准方程及简单的几何性质条件2a2c，a2=b2+c2，a0，b0，c0标准方程及图形+=1(ab0)+=1(ab0)范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b对称性曲线关于原点、x轴、y轴对称顶点长轴顶点(±a，0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b，0)焦点(±c，0)(0，±c)长、短轴的长度长轴长2a，短轴长2b焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)准线方程x=±y=±离心率e=∈(0，1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆2.点P(x0，y0)和椭圆+=1(ab0)的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆外+1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上+=1.(3)点P(x0，y0)在椭圆内+1.【要点导学】要点导学　各个击破　求椭圆离心率的值例1　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(ab0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，求椭圆的离心率.【思维引导】根据所给的几何条件，建立关于a，b，c的方程.【解答】方法一：因为∠BAO+∠BFO=90°，所以sin∠BFO=cos ∠BAO=cos ∠BAF.在△ABF中，由正弦定理得===，即=，所以=，所以a2=b，即a4=(a2-c2)(2a2-c2)，化简得e4-3e2+1=0，解得e2=，故e=(负值舍去).方法二：易知∠BAF=∠FBO，所以Rt△BFO∽Rt△ABO，则=，即=，所以ac=b2=a2-c2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).方法三：设椭圆右顶点为C，连接BC，则∠BCO=∠BAF，所以∠BCO+∠BFC=90°，则BF2+BC2=CF2，即a2+a2+b2=(a+c)2，所以2a2-c2=2ac+c2，即c2+ac-a2=0，所以e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).【精要点评】椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化，建立关于a，b，c的齐次方程.本题对于所给条件∠BAO+∠BFO=90°采取了三种转化，分别是正弦定理、余弦定理以及相似三角形、直角三角形(勾股定理)，但目的都是一致的.【高频考点·题组强化】1. 椭圆+=1的离心率为　.【答案】2. 若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率等于　.【答案】【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a=2b，则椭圆的离心率e==.3. (2015·苏北四市期末)已知椭圆+=1(ab0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线 AB2与直线 B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为　.【答案】【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M.(第3题)由=kAM，得=，所以yM=b.由=kFM，得=，所以yM=，从而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=或e=-1(舍去).4. 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点.若PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)，求椭圆的离心率.(第4题)【解答】设椭圆的方程为+=1(ab0)，F1(-c，0)，c2=a2-b2，则P.因为AB∥PO，所以kAB=kOP，即-=，所以b=c.又因为a==b，所以e===.　求椭圆离心率的取值范围微课13● 典型示例例2　若椭圆+=1(ab0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是　.【思维导图】　【答案】【规范解答】由题意知，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，