用不动点法求数列的通项..doc

用不动点法求数列的通项 胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913） 求递推数列的通项公式是常见的而且又比较困难的问题。但又难求通项的数列综合问题，可以利用不动点法帮助寻找合适的代换. 定义：方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 证明：因为 是的不动点 由得 所以是公比为的等比数列. 例1. （2010年高考·上海卷）已知数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 证：(1) 当时，；当时，，即即，记，令，求出不动点，由定理1知：，又( (15 ≠0，所以数列{}是等比数列. (2)解略. 例2. （2005年高考·山东卷）已知数列的首项为，前n项和为，且，求的通项公式. 解：由已知，得 当时，， 两式相减得 当时，，即，也即 又，所以，从而＋1，故对成立。 令，求出不动点. 由定理1得：数列{}是公比为2的等比数列，所以＝，故. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 （1）：若有两个相异的不动点，则 （这里） （2）：若只有唯一不动点，则 （这里） 证明：由得，所以 （1）因为是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例3.（2010年高考·全国卷）已知数列中， （Ⅰ）设，求数列的通项公式. （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 . 解：（Ⅰ）依题，记，令，求出不动点；由定理2（ⅰ）知：， ； 两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，从而（Ⅱ）解略. 例4. （2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且。求数列的通项公式及数列的前n项和. 解：由已知得，由方程，求出不动点，. 于是， 所以数列是公比为的等比数列 所以， 解得 故数列的前n项和为. 例5.数列满足下列关系：，求数列的通项公式. 解：作函数，解方程求出不动点，于是 所以是以为首项，公差为的等差数列 所以，所以. 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明: 是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解. 例6.已知数列中,,求数列的通项. 解:作函数为,解方程得的两个不动点为 再经过反复迭代,得 由此解得. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 定理4 ： 设且是的最小不动点，数列满足递推关系，，则有 定理5 ： 设且是的不动点，数列满足递推关系，，则有 利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，基于高考数列试题的难度，本文不再对定理4定理5进行举例，有兴趣的同学探究证明. 6