解的结构与二阶齐次线性--华南理工大学高数课件.pptVIP

第七节 线性微分方程解的结构 微分方程 n阶 线性 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 形如 一、二阶线性微分方程 定理1 证 叠加原理 一定是通解 (1) 二、二阶线性微分方程的解的结构 解, 1.二阶齐次方程解的结构 齐次 线性无关 定义 线性相关. 否则称 线性无关. 如 线性相关 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数. 特别地 如 线性无关. 定理2 通解 为了求 只要求它的两个线性无关的特解. 线性无关 的特解, 那末 也是(1)的 齐次 线性方程的通解, 若在I上有 通解. 定理2 推论 是n 阶齐次 线性方程 的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 其中 为任意常数. 可推广到n 阶齐次线性方程. 2.二阶线性非齐次方程的解的结构 定理3 的一个特解, 非齐次 (2) Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解. 是二阶线性非齐次微分方程 解的叠加原理 定理4 之和, 的特解, 那么 就是原方程的特解. 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程. 微分方程 常系数线性齐次方程 常系数线性非齐次方程 第八节 二阶常系数齐次线 性微分方程 n阶 方程 二阶常系数线性非齐次方程 线性微分方程 常系数 二阶 常系数 齐次 线性 一、定义 形如 ----- 特征方程法 将其代入方程, 故有 特征根 设解 得 特征方程 二、二阶常系数线性齐次方程解法 其中 为待定常数. (3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解 (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征根 二阶常系数齐次线性方程 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 求通解的步骤: 解 特征方程 故所求通解为 例 特征根 解 特征方程 故所求通解为 例 特征根 例 求方程 解 的通解. 特征方程 故所求通解为 特征根 即 和 特征根 故所求通解 解 特征方程 例 对应的特解 思考题 求微分方程 的通解. 思考题解答 令 则 特征根 特征方程 通解 或: 此方程属于 * *