对偶问题的分析.pptVIP

第三章 线性规划问题的对偶与灵敏度分析 3.1线性规划的对偶问题概念、理论及经济意义 3.2线性规划的对偶单纯形法 3.3线性规划的灵敏度分析 线性规划原问题 例2.1:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示。求获最大利润的方案。 一、对偶问题： 它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力 若另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、C ，那么该厂应如何确定合理的租金。 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的租金。 设备的租金收入不能低于自己组织生产时的获利收入： 3y1+2y2 ≥1500（不少于甲产品的利润） 2y1+y2+3y3 ≥2500（不少于乙产品的利润） 用于生产第i种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润 租方希望在满足上述条件下尽量要求全部设备的总租金越少越好，即 Min W = 65y1+ 40y2 + 75y3 对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价 若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总价格最低） 当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=8 原问题的对偶问题DP： Min W= 65y1+ 40y2 + 75y3 s.t. 3y1+2y2 ≥1500 2y1+y2+3y3 ≥2500 y1, y2 , y3 ≥ 0 Max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 原问题 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0 Min W = 65y1+ 40y2 + 75y3 s.t. 3y1+2y2 ≥1500 2y1+y2+3y3 ≥2500 对偶问题 y1, y2 , y3 ≥ 0 原问题求极大化，对偶问题求极小化 从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个约束，m个变量。 从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置对换。 对偶问题与原问题的对比 原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 目标函数max 目标函数min 不同 ≤ 0 ≥ 约束 ≥ 0 变量 ≤ 不同 条件 = 无约束 ≥ 0 ≥ 变量 ≤ 0 约束 ≤ 相同 无约束 条件 = 例3.1 写出下面线性规划的对偶规划模型 Max z = x1 - x2+5x3-7x4 s.t. x1 + 3 x2 -2 x3 + x4 = 25 2 x1 + 7x3 + 2x4 ≥ -60 2 x1 + 2x2 -4x3 ≤ 30 x4 ≥-5 x4 ≤10 x1 , x2 , ≥ 0 x3 , x4取值无约束 Min f = 25y1 – 60y2+30y3-5y4