同济大学《高等数学》(第四版)2-7节_函数的微分.pptVIP

思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念. 练 习 题 练习题答案 第七节 函数的微分 微分的意义与近似计算 函数的微分的定义 问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 1.微分的概念 ?y =A?x + o(?x) 此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。 设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义, 给 x0 以增量 ?x , 且 x0+?x ? U(x0) 。 如果函数相应的增量可表示为 则称 ?y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分, 记为 d y =A?x , 其中, A 叫微分系数 。 2.可微与可导的关系 定理 ?y = f ?(x0)?x + o(?x) dy = f ?(x0)?x 也就是说 , f (x) 在点 x0 处的可微性与 可导性是等价的 , 且 f (x) 在点 x0 处可微 , 则 解 什么意思？ 例1 自变量的增量就是自变量的微分： 函数的微分可以写成: 该例说明: 此外, 当 x 为自变量时, 还可记 即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的 微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也 可称为微商. 哈哈！除法, 这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了. 解 故 例2 M N T ） 几何意义:(如图) P 3. 微分的几何意义 几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为: 相应于自变量 x 的改变量 ?x, 曲线y = f (x) 在点 P(x, y) 的切线上纵坐标的改变量. 4. 微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 例3 解 例4 解 六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性 例6 解 例5 解 例7 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 七、小结 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. 导数与微分的联系: ★ ★ 导数与微分的区别: ★ 思考题