双线性映射论文.docVIP

第3 章保零积的双线性映射................................................................................. 11 3.1 保零积的双线性映射的定义........................................................................... 11 3.2 与保零积的双线性映射有关的三个性质....................................................... 11 3.3 本章小结........................................................................................................... 13 第4 章保反零积的双线性映射 ............................................................................. 15 4.1 保反零积的双线性映射的定义....................................................................... 15 4.2 与保反零积的双线性映射有关的性质........................................................... 15 4.3 本章小结........................................................................................................... 18 第 3 章保零积的双线性映射 保零积的概念较早出现在研究简单代数上的保持问题中，即A 是一个Banach 代数，X 是一个 Banach空间，φ : A→ X 是一个连续的线性映射. 我们称φ 是保零 积的如果a,b∈ A,ab = 0 ?φ (ab) = 0 . 接下来人们讨论了B(H)上保交换零积的可 加映射，若φ 是保交换零积可加满射,则φ 是非零数乘一个环同构或一个环反同构. 后来，一些学者提出了保零积的映射的具体形式、性质和应用. 随着保零积线性映射的推进，又有学者提出了保零积的双线性映射的定义.随 后关于它在不同空间的刻画形式又吸引了很多人的关注.2008 年，J.Alaminos,M.Bre?ar, M.?erne,J.Extremera,A.R.Villena 提出了在C1[0,1]×C1[0,1]→ X 上的连续的保 零积的双线性映射可以写成 φ ( f , g) = P( fg) + Q( fg′) + R( f ′g′)， 其中 f , g ∈C1[0,1],P :C1[0,1]→ X ,Q, R :C[0,1]→ X .2010 年，他们又提出了 : (n 2) n n Φ M ×M → X ≥ 是一个双线性映射满足只要e, f 是正交秩 1 幂等阵，则Φ(e, f ) = 0，那么存在线性 算子Φ Φ M → X n , : 1 2 ，使得 ( , ) ( ) ( ) 1 2 Φ a b = Φ ab +Φ ba ( , ) n a b∈M . 3.1 保零积的双线性映射的定义 定义 3.1 [36]138 设 A 是一个 Banach 代数， X 是一个 Banach 空间， φ : A× A→ X 是一个连续的双线性映射. 我们称φ 是保零积的如果 a,b∈ A,ab = 0 ?φ (a,b) = 0 . 3.2 与保零积的双线性映射有关的三个性质 定义 3.2[36]138 一个 Banach 代数A具有性质(A)是指对于任意一个 Banach 空 间X 来说，每一个连续的保零积的双线性映射φ : A× A→ X 都满足 φ (ab,c) =φ (a,bc) (a,b,c ∈ A) . 具有性质(A)的Banach 代数A 有很多，下面举例说明： 例 1[36]137群代数：令G 是局部紧的群，记M(G)为G 上所有复的正规的 Borel 测度构成的 Banach代数. L1 (G)包含M(G)中所有关于λ 绝对连续的所有测度，它为M(G)的理想，由文献[15，定理 3.3.40] ，M(G)不是别的，正是L1 (G)的乘子 代数，对每一个t ∈G，最小整数点在t处的大部分测度 t δ 是多重幂有界的，进而 由文献[37，命题 3.3.41]得到lin{ : t G} M(G) so t δ ∈ = ，因此L1 (G)具有性质(A). 例 2[36]137 C?