第四章 根轨迹分析.ppt

第４章 根轨迹分析 教学重点 了解根轨迹的基本特性和相关概念； 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则； 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中； 学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。 教学难点 根轨迹的绘制，用根轨迹法分析系统的性能。 闭环系统的稳定性，完全由它的闭环极点（即系统特征方程的特征根）在S平面上的分布情况决定，系统的动态性能也与闭环极点在平面上的位置密切相关。因此，在分析控制系统的性能时，确定闭环极点在平面上的位置非常重要。 1948年，伊文思（W.R.Evans）根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程之间的联系，提出一种简便的求解系统特征方程的特征根的图解法－根轨迹法。 根据已知开环系统零、极点，当一个或某些系统参数变化时，确定闭环系统极点在平面上随参数变化运动的轨迹。 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹：当系统的某个参数（如开环增益）由零连续变化到无穷大时，闭环特征方程的特征根在平面上形成的若干条曲线。 4.1.1 闭环零极点与开环零极点之间的关系 系统的开环传递函数用如下两种形式表示： 系统的闭环传递函数为 根轨迹：系统某个参数变化时（由 ），闭环特征根在平面上运动的轨迹。 系统的特征方程为 求解该方程可得闭环系统的特征根为 表4-1 开环增益K取不同值时对应的特征根 、 从图4-3中可以看出开环增益K的变化对闭环特征根分布的影响： （1）当 时，特征根 、 与开环极点－ 、－ 重合，这就是根轨迹的起始点。 （2）当 时，两个闭环特征根重合，即 为重根。 （3）当 继续增大，两个闭环特征根为一对共轭复数，其实部相同（-1），虚部沿与虚轴平行的直线分别移动，直到趋于无穷大。 4.1.2 根轨迹与系统性能 1、稳定性 无论开环增益 取何值，系统的根轨迹曲线和相应的系统的极点均分布在 的左半平面内，故该闭环系统总是稳定的。 2、动态性能 当 时，闭环特征根为[-2,0）区间内的负实根，系统阶跃响应曲线相当于过阻尼； 当 时，闭环特征根重合，其阶跃响应曲线相当于临界阻尼状态； 当 时，闭环特征根为共轭复数，其阶跃响应曲线相当于欠阻尼状态，即衰减振荡。 ３、稳态特性 因为开环传递函数有一个位于原点的极点，所以该系统为I型系统，阶跃函数作用下的系统稳态误差为零。 4.1.3 根轨迹方程 对于如图4-1所示的控制系统的一般结构，其闭环传递函数为 可得系统的特征方程（根轨迹方程）为 或表示成 由于 是一复变量，可表示为模和幅角的形式，向量“ ”可表示为 或 特征方程式可以等价地写成 利用复变量相等的条件，可得下列关系式： 模值方程为 相角方程为 负反馈系统： 正反馈系统： 例4-1 试分析图4-3中根轨迹的相角条件，并求根轨迹上点 和点 所对应的开环根轨迹增益值。 解 如图4-4所示，实轴上极点 和 之间是根轨迹。该两个极点之间的任意一点，如点 ，其相角为 ，满足根轨迹的相角条件。 S平面上的直线 也是根轨迹，因为该直线上的任意一点，如点 ，其相角为 同样满足根轨迹的相角条件。 对于点 ，根轨迹增益为 对于点 ，根轨迹增益为 4.2 根轨迹的绘制规则4.2.1 180°根轨迹绘制的基本规则 １．根轨迹的方向、起点和终点 根轨迹起始于 ，终止于 ，由模值条件式得 当 时， 为系统的开环极点。 当 时， 为系统的开环零点。 规则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目 小于开环极点数目 ，则有 条根轨迹终止于无穷远处。 ２.根轨迹的分支数 根轨迹分支数与闭环特征方程的根的数目相同，系统的特征方程为 特征根的数目等于 和 中的较大者。 规则2：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环零点数和开环极点数中的较大者。 ３.根轨迹的连续性和对称性 规则3：根轨迹是连续的，且以 平面的实轴为对称的曲线。 ４.实轴上根轨迹的分布 根轨迹