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信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源 1.1同时掷一对均匀的子，试求： (1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵； (5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。 解： (3)信源空间： X (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) P(X) 1/36 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 X (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) P(x) 1/36 2/36 2/36 2/36 2/36 X (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) P(x) 1/36 2/36 2/36 2/36 X (4,4) (4,5) (4,6) P(x) 1/36 2/36 2/36 X (5,5) (5,6) (6,6) P(x) 1/36 2/36 1/36 (4)信源空间： X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 (5) 1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和B，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa，Ya）, （Xb，Yb）,但A，B不能同时落入同一方格内。 若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量； 若已知A已落入，求B落入的平均信息量； 若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。 解： 1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？ 解： 1.4某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知 求符号的平均信息量； 由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”,（1000-m）个“1”）的自信量的表达式； 计算（2）中序列的熵。 解： 1.5设信源X的信源空间为： 求信源熵，并解释为什么H(X)log6，不满足信源熵的极值性。 解： 1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s）。 解： 1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。 证: 1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？ 解: 1.9给定一个概率分布和一个整数m，。定义，证明：。并说明等式何时成立？ 证： 1.10找出两种特殊分布: p1≥p2≥p3≥…≥pn，p1≥p2≥p3≥…≥pm,使H(p1,p2,p3,…,pn)=H(p1,p2,p3,…,pm)。 解： 1.15两个离散随机变量X和Y，其和为Z＝X＋Y，若X和Y统计独立，求证： H(X)≤H(Z), H(Y)≤H(Z) H(XY)≥H(Z) 证明： 第二章 单符号离散信道 2.1设信源通过一信道，信道的输出随机变量Y的符号集 ,信道的矩阵： 试求： 信源X中的符号?1和?2分别含有的自信息量； 收到消息Y＝b1，Y＝b2后，获得关于?1、?2的互交信息量：I(?1;b1)、I(?1;b2)、I(?2;b1)、I(?2;b2)； 信源X和信宿Y的信息熵； 信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)； 接收到消息Y后获得的平均互交信息量I(X;Y)。 解: 2.2某二进制对称信道，其信道矩阵是： 设该信道以1500个二进制符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二进制符号，并设在这消息中p(0)= p(1)=0.5。问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传送完。 解: 2.3有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为P[X=0,Y=0]=1/8，P[X=0,Y=1]=3/8，P[X=1,Y