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2.1二次函数概念
5.已知二次函数 开动脑筋 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围. * 二 次 函 数 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系: (1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y y = 2(1+x)2 (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形,周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。 1 1 1 3 x y = (60-x-4)(x-2) 1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, ) a≠0 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数 称:a为二次项系数, b为一次项系数, c为常数项, 注意: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的 整式 (2)a,b,c为常数,且 a≠0. (3 )等式的右边最高次数为 ,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项。 2 (4)x的取值范围是 任意实数 二次函数的特殊形式: 当b=0时, y=ax2+c 当c=0时, y=ax2+bx 当b=0,c=0时, y=ax2 1.下列函数中,哪些是二次函数? 是 不是 是 不是 先化简后判断 (5)y=3x-1 不是 2、下列函数中,哪些是二次函数? 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 (1) y=-x2+58x-112 (2)y=πx2 2、指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c (1) y=-3x2-x-1 (2)y=x2+x (3)y=5x2-6 请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍, 常数项为任意值。 (2)二次项系数为-5,一次项系数为常数项的3倍。 例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 练习1、m取何值时,函数是y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数? 知识运用 (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? (1)它是二次函数? 超级链接 例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数 (1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm) 之间的函数关系; (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间 的函数关系; (3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S 与一对角线长x之间的函数关系. (2)由题意得 ,其中y是x的二次函数; (3)由题意得 ,其中S是x的 二次函数 解: (1)由题意得 ,其中S是a的二次函数; 例3:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式. { 待定系数法 4. 已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. { 当x=1时,函数y有最小值为4 x取任意实数 (1)你能说出此函数的最小值吗? (2)你能说出这里自变量能取哪些值呢? 例如:圆的面积 y ( )与圆的半径 x(cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢? 问题:是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢?
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