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第十章 重 积 分 第一节 二重积分的概念与性质 习题A 一．填空与选择 1．比较，大小 (1)若由轴，轴与直线围成，则在上 (2) 若由围成，则在上 2．设若，区域为，,则在上该积分的估计值为 ． 3．设平面区域由直线，，，围成，若 ，， 则，，之间的关系是___________ ． （A）； （B）； （C）； （D）． 二． 设在闭区域上连续，求证： 习题B 判断 的符号. 第二节 二重积分的计算法 （一）利用直角坐标计算二重积分 习题A 一．填空与选择 1．交换积分次序 2．交换积分次序 若，则= ． 3．，． 4．交换二次积分f(x,y)dy的积分次序，它等于( )． (A) f(x,y)dx (B) f(x,y)dx (C) f(x,y)dx (D) f(x,y)dy 二．化二重积分为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D由直线，及双曲线围成．并计算 三．计算下列二重积分 1． ，其中D是顶点分别为，和的三角形闭区域． 2． 3．，其中D是由所确定的闭区域． 四．计算． 五．求三个坐标平面与平面，，围成的立体的体积． 六．计算 其中 七．计算其中D为 习题B 一．设是平面上以．．为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，则积分等于（ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 二．若函数在矩形区域上连续，且 ，则________________． 三．计算二重积分：其中是第一象限中由直线和曲线所围成的闭区域． 四．利用二重积分证明： 若在上可积，则有 五．求其中D由及所围成，且连续． （二）利用极坐标计算二重积分 习题A 一．填空 1． 2． 3．把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是由曲线，及所围成的闭区域； 二．利用极坐标计算： 1．，其中是圆环形闭区域：； 2．，其中D是由，及，所围成的闭区域的第一象限部分． 3．其中D是由圆周所围成的闭区域． 4． 求二重积分，其中 三．计算, 其中积分区域是由所确定的圆环域. 习题B 一．求,其中D为． 二．求其中D为． 三．计算二重积分 ，其中． 第三节 三重积分 习题A 一．填空与选择 1．化为三次积分，其中积分区域分别是： (1) 由双曲抛物面及平面，所围成的闭区域： (2) 由曲面所围成的闭区域： 2．已知为连续函数，空间闭区域由及所确定 则＝（ ） （A） （B） （C） （D） 3．设，其中是曲面和围成的空间区域． （1）将三重积分I化为球坐标系下的三次积分（不作计算） （2）将三重积分I化为柱坐标系下的三次积分 二．计算，其中是由平面，，，所围成的空间域． 三．计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域． 四．计算，其中由平面，，以及抛物柱面所围成的闭区域． 五．利用柱面坐标计算下列三重积分． 1．求,其中是由平面曲线绕轴旋转而成的抛物面与面所围成的空间闭区域． 2．计算三重积分 ，其中是由曲面及所围成的空间区域． 六．利用球坐标计算三重积分． 1．，其中是由球面所围成的闭区域． 2． 其中由不等式， 所确定． 习题B 一．选用适当的坐标系计算下列三重积分． 1．，其中是由，所围成闭区域． 2．，其中是由不等式：，所确定． 3．其中是 ，的公共部分． 4．计算三重积分 ，其中是由曲面及所围成的空间区域． 二．，其中由曲面，，，所围成的闭区域． 三．曲面所围成立体的体积． 四．计算, 其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域. 第四节 重积分的应用 习题A 一．占有区域为D平面薄片对于直线的转动惯量的公式为_________________． 二．求锥面被柱面所割下部分的曲面面积． 三．求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积． 四．求由与所围均匀薄片的形心． 五．求密度为．球心在原点半径为3的上半球体的质心及对于任一直径边的转动惯量． 测 试 题 一 选择与填空（每题4分，共40分） 1．，其中的大小 关系为:（ ） (A) (B) (C) (D) 无法判断 2．=（ ），，且在上连续． (A) (B) (C) (D) 3．区域,按Y型区域应为（ ） (A) (B) (C) (D) 4．已知 ，则（ ） (A) (B) (C) (D) 5．已知为,下列等式错误的是( ) (A)