分部积分法与换元积分法分部积分法与换元积分法.docVIP

§2 分部积分法与换元积分法 (一) 教学目的：掌握分部积分法与第一、二换元积分法． (二) 教学内容：分部积分法，第一、二换元积分法；． 基本要求：熟练掌握分部积分法和换元积分法. (三) 教学建议： (1) 讲解足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 一、分部积分法 我们讲导数时，知道 从而有 移项得 或 我们称这个公式为分部积分公式。 当 不容易积分，但 容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 计算出来。 例1 求 解：若令 ， 代入分部积分公式 但若令 ， 代入分部积分公式 比原积分还复杂 由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。 分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 ，积分较难或积分后比较复杂的函数作为 求 或解：令 原式 例3 求 解： 例4 求 解： 分部积分公式也可以连续用多次 例5 求 解： 例6 求 解： 再分部积分一次 出现循环 将上式最后一项移到左端合并整理，得 分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分 等常用分部积分来计算。当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘 积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。 二、换元积分法 1、第一类换元积分法 设为的原函数，即 或 如果 ，且可微，则 即为的原函数，或 因此有 定理1 设为的原函数，可微，则 (2-1) 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 类型1 例7 求不定积分 ① ② ③ ④ 类型2 例8 求不定积分 ① ② ③ ④ 类型3 例9 求不定积分 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2、 第二类换元积分法 定理2 设是可导函数，且，又设 ，则 (2-2) 其中为的反函数。 公式(2-2)称为第二类换元积分公式。 证明 因为、可导，所以存在反函数，且 于是 , 所以 . 常用代换有:无理代换，三角代换，双曲代换， 倒代换，万能代换等，本节我们着重介绍三角代换. ⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则 例10 求 ， 解：令 ，，则 ，，因此有 ⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 即 令 . 此时有 变量还原常用辅助三角形法. 例1１　求 ， 解：令 ，，则 ，，因此有 其中。用类似方法可得 ⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令 有 　变量还原常用辅助三角形法. 例１２、 解：令，则 原式= 归纳：中含有可考虑用代换 小结：　本节学习了不定积分的分部积分法和不定积分的第一类换元积分法和第二类换 元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角 代换。也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。 作业：P．295-296 1(1)(3)(5)(7)(9),2(1-18) 2(18-30),3(2)(4)(6)(8),4(1)(3)(5)(7)