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一个圆柱表面最短路径问题的解决 陕西师范大学数学系 （710062）1 一个流行误解 1-1 误解的呈现 有一个流行的误解已经引起了部分人们的注意，但还没有被大家全都认识，请看： 例1 （文[1] P．6说）在讲授平面展开图时我设计了这样一个题目：如图1，一只圆筒的下方有一只小壁虎，上方有一只蚊子．现在小壁虎要想尽快吃到蚊子，它应该走哪条路径？请你帮小壁虎设计一条路线，具体怎么操作呢． 文[1]继续说：“学生小组讨论，自主合作，共同探讨，鼓励学生发表自己的观点，充分肯定学生的积极参与性，让学生通过探索发现将圆 筒沿着一条棱展开就可得出解法的方法．” 图1 文[1]没有说学生具体怎么计算，但从图形没有出现上底直径、展开没有提到上下底等迹象可以猜测：学生的“探索发现”形同下面的例2（将圆筒沿着一条棱展开）． 例2 （2005年贵阳（课改）中考）如图2，一圆柱体的底面周长为24，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程大约是（ ）． （A）6（B）12（C）13（D）16 展开，得图3所示的矩形，从点到点的最短路程就是线段的长（路径）．因为的长是底面圆的周长的一半12，高的长是4，所以在直角中，由勾股定理得 （cm）． 答案选（C）． 这种处理对吗？我们说，如果这正是例1学生“小组讨论，自主合作，共同探讨”得出的方法的话，那么师生们就全都陷进了“流行的误解”，而教师则还没有尽到指导的责任．（也可能是没有看清“表面”与“侧面” 首先指出，上述例1、例2中有三个化归是很好的： 化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题 化归2：把一个空间问题转化为平面问题化归3：点到点有两类路径： 路径1：只走侧面．展平后，转变为“两点之间直线距离最短”； 路径2：既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”．这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性． “流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（逻辑漏洞1），更没有看到第二类路径的多样性（逻辑漏洞2，参见下文的讨论）． 如图4，将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离： 第一条，如例2所述，是沿侧面展平后的直线距离，有 ． 第二条，是先沿侧面走母线，然后走圆的直径，展平后有 ． 由于，所以比更小．例2的答案是错误的． 图4 那么，是不是任何情况下都有呢？请看反例． 例3 如图2，一圆柱体的底面周长为16，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是 ． 解 如图4，沿用例2的解法，有 ， ， 但，所以． 那么，什么时候小、什么时候小呢？ 1-3 误解的流行“解决” 考虑更一般性的情况． 例4 如图2，一圆柱体的底面周长为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 解 如图4，沿用例2的解法，有 ， ． 分三种情况讨论： （1）． （2）． （3） 记常数为，可见，与的大小关系有三种情况：当时，沿侧面爬行的路程最短，为；当时，先竖直向上爬到的正上方，再沿直径爬到点的路程最短，为；当时，两种爬行方式的路程一样． 看上去，这种讨论已经很细致了，文[2]进行到这里时，“教室响起了热烈的掌声”．误认为问题已彻底解决的类似认识在文[3]等处也可以看到，然而，这依然有逻辑的漏洞——为什么只有这两条路径呢？ 1-4 误解的继续探索 事实上，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的路径，除了以上两种之外，还存在无穷多条从到的路径．如图5所示：，其中是侧面上的最短距离（侧面展平后的直线距离），是上底面两点之间的直线距离，、、也有可能三点共线． 文[4]清楚看到了这一点，也列出了相关函数式（以为自变量） ， 但由于“涉及到一些较复杂的函数”，故仅“采用几何画 板进行辅助探究”，“无法代替”证明． 图5 以上，就是人们对圆柱表面最短路径的认识轨迹（限于个人所见，疏漏在所难免），本文的目的是在简要展示的基础上，继续完成理论证明． 2 最短路径的的理论解决 2-1 建立函数关系 如图6，考虑例4．设圆心角，，则，展平后，为圆与矩形的切点，为折线，在直角中，有 　， 在中用余弦定理，有 　， 得的长度为（的函数） ，（）． 当时，，当时，． 下面，我们来讨论的最值． 图6 2-2 求导数令 当时，对求导，有 ． 令，并连续变形