专题突破四高考立体几何问题的求解策略.doc

专题突破四　高考立体几何问题的求解策略 类型1　用向量法求线线角、线面角利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 图4-1 【典例1】　(2015·长沙模拟)如图4-1所示，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，DAB＝ABC＝90°，E是CD的中点． (1)证明：CD平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积． [思路点拨]　(1)以点A为坐标原点建系，用向量法证明CDAE，CDAP. (2)先确定平面PAE和平面ABCD的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求AP. [规范解答]　如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)． (1)证明：易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)． 因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE. (2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量． 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|， 即＝. 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)， 又＝(4,0，－h)， 故＝. 解得h＝. 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱锥P-ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝. 【反思启迪】　1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误． 2．对于角的计算，一般是把所求角进行转化，体现了化归与转化思想，主要是将空间角转化为平面角或两向量的夹角． 【变式训练1】　(2015·贵阳模拟)如图4-2，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE平面CDE. (1)求证：AB平面ADE； (2)在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为，试确定点M的位置． 图4-2 [解]　(1)证明　AE⊥平面CDE，CD平面CDE， AE⊥CD. 在正方形ABCD中，CDAD， AD∩AE＝A，CD⊥平面ADE. AB∥CD，AB⊥平面ADE. (2)由(1)知平面EAD平面ABCD，取AD中点O，连结EO， EA＝ED，EO⊥AD， EO⊥平面ABCD， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2， 则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,1)，设M(x，y，z)， ＝(x－1，y－2，z)，＝(－1，－2,1)， B，M，E三点共线， ＝λ，M(1－λ，2－2λ，λ)， ＝(－λ，2－2λ，λ)． 设AM与平面AED所成的角为θ， 平面AED的法向量n＝(0,1,0)， sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝， 解得λ＝. 即M为BE的中点． 类型2　用向量法求二面角 利用空间向量法求二面角的方法： (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题． 图4-3 【典例2】　(2014·浙江高考)如图4-3，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDE＝BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝. (1)证明：DE平面ACD； (2)求二面角B-AD-E的大小． [思路点拨]　(1)由勾股定理求得AC与BC垂直，由面面垂直的性质得出AC与DE垂直，从而得出线面垂直；(2)用几何法求二面角，先找到二面角的平面角，再用余弦定理求出角的大小，或者用空间向量建立空间直角坐标系，转化为平面的法向量的夹角． [规范解答]　(1)证明：在直角梯形BCDE中， 由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝. 由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即ACBC. 又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCD