九上寒假综合特辑1(含答案).docx

中考数学综合特辑1(每题10分，共120分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【解答】　(1)依题意，得解得∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得解得∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为(－1，2)．(3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18；解得t1＝，t2＝.综上所述，P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，)或(－1，)．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】　(1)由解得∴抛物线解析式为：y＝－x2＋2x＋3.(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，作DH⊥x轴．令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC ＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3 ＝－t2＋t.∵－＜0，∴当t＝－＝时，即D(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.(3)∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，∵直线BC为y＝－x＋3，∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.由解得Q1(2，3)；∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3，∴M(1，2)．设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2，∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．由解得Q2(，－)，Q3(，－)．∴满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(，－)，Q3(，－)．3.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点C的坐标为(0，－2)，交x轴于A、B两点，其中A(－1，0)，直线l：x＝m(m＞1)与x轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B的坐标；(2)在直线l上找点P(P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】　(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为C(0，－2)，∴b＝0，c＝－2.∵y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，∴0＝a＋0－2，a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2－2.当y＝0时，2x2－2＝0，解得x＝±1，∴点B的坐标为(1，0)．(2)连接BC.设P(m，n)．∵∠PDB＝∠BOC＝90°，∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△OCB∽△DBP，则＝，即＝，解得n＝.∴此时点P坐标为(m，)；②若△OCB∽△DPB，则＝，即＝，解得n＝2m－2.∴此时点P坐标为(m，2m－2)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(m，)或(m，2m－2)．(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x，2x2－2)，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点Q作QE⊥l于点E.∵∠DBP＋∠BPD＝90°，∠QPE＋∠BPD＝90°，∴∠DBP＝∠QPE.在△D