《椭球面上的测量计算.ppt

椭球面上的测量计算 本章主要内容 §7.3椭球面上的几种曲率半径 为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上有关曲线的性质。 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截弧（线）。 包含椭球面一点的法线可作无数个法截面，相应有无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于球面上的法截线（大圆弧）曲率半径（都等于圆球的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。为此先研究子午线及卯酉线的曲率半径。 一、子午圈曲率半径（M） 在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。 由平面曲线的曲率半径定义公式可得： 由微分三角形DKE可得： 两式相代得 二、卯酉圈曲率半径 （N） 过椭球面上一点的法线，可作无数个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈称之为卯酉圈。PEE’即为过P点的卯酉圈，半径用N表示 由麦尼尔定理知，假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧平面夹角的余弦。 即： 平行圈平面与卯酉圈平面之 间的夹角即为大地纬度B,平 行圈半径r就等于P点的横坐 标x，即： 由图看出 N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律如下表： 三、任意法截弧的曲率半径 子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，这两个法截弧在P点上是正交的。 根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径的公式为： 上式分子分母同除M，并顾及 则有, 四、平均曲率半径 在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把 椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径— 平均曲率半径（就是过椭球面上一点的一切法截弧(0--2?）， 当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限， 用R表示)。推导得其最终公式为 五、M、N、R的关系 椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取，其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系：NRM 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即： §7.4 椭球面上的弧长计算 一、子午线弧长计算公式 二、平行圈弧长公式 三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计算公式。 取子午线上某微分弧, 为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于: 克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式： 二、平行圈弧长公式 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径r就是圆上任意一点的子午面直角坐标x, 三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长10约为110KM，1′约为1.8KM，1″约为30m；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。 §7.5 大地线 一、相对法截线 设在椭球面上任取两点A、B，其纬度为 。过A、B两点分别作法线与短轴交于 点，与赤道面分别交于 。现证明 将不重合。 故当时 时， ，故 是不重的。 现假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线 重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面 同椭球面的截线为 ，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线； 同理，由B点照准A点，则照准面 同椭球面的截线为 叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。 由上式可知，当 ，说明，某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，即法截线 偏上，而 偏下。由此，现将AB方向在不同象限时，正反法截线的关系表示为图： 当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。 通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。 二、大地线的