西城区抽样测试（理3稿）.docVIP

西城区抽样测试 高三数学（理科） 2008.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设是全集的两个子集，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设表示不同的直线，表示不同的平面，且. 则“”是“且”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的（ ） A. 一条直线 B. 一个圆 C. 双曲线的一支 D. 一个椭圆 4. 圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 设定点，动点的坐标满足条件则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 7. 已知是平面内四点，且，那么一定有（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数的定义域为，值域为. 定义“区间的长度等于”，若区间长度的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 若复数 是纯虚数，则实数_______ . 10. 设是第三象限角，，则_______ . 11. 在的展开式中，的系数是_______；展开式中各项系数的和为_______. 12. 设向量a，b，若ab，则实数的取值范围是__________________. 13. 将边长为的正方形沿对角线折起，使平面平面，则折起后两点的距离为_______；三棱锥的体积是 _________. 14. 设函数的定义域分别为，且. 若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数 .设，为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则____________ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分） 某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题 . 规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立. （Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； （Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的数学期望和方差. 16. （本小题满分12分） 设，函数，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的最大值及相应的值 . 17.（本小题满分14分） 如图，在正四棱柱中，， 是的中点 . （Ⅰ）求直线和平面所成角的大小； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求二面角的大小 . 18.（本小题满分14分） 在数列中，， . （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设 ，证明：是等差数列； （Ⅲ）求数列的前项和. 19.（本小题满分14分） 已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点. （Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值； （Ⅱ）求点的轨迹方程. 20.（本小题满分14分） 已知函数 (为自然对数的底数) . （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围； （Ⅲ）设，证明：. 西城区抽样测试 高三数学（理科）参考答案 2008.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 11. ； 12. 13. ； 14. 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15. （本小题满分12分） （Ⅰ）解： 记 “该选手通过初赛”为事件，“该选手通过复赛”为事件，“该选手通过决赛”为事件， 则 ，，. 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是 .