【优化方案】2014届高考数学9.8 简单多面体与球(A、B) 课时闯关(含答案解析).docVIP

一、选择题 1．过表面积为4π的球面上一点M作两两互相垂直的三条弦MA、MB、MC，则MA2＋MB2＋MC2等于(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选D.由S＝4π＝4πr2，故r＝1. 因MA、MB、MC两两垂直，故可构造球的内接长方体，MA、MB、MC为其三条棱，长方体的体对角线长等于球的直径长2，故有MA2＋MB2＋MC2＝22＝4. 2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　) A. B. C．8π D. 解析：选B.截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，∴R＝，V＝πR3＝. 3．(2012·高考四川卷)如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP＝60°，则A、P两点间的球面距离为(　　) A．Rarccos B. C．Rarccos D. 解析：选A.由题意知，OA⊥α，平面BCD与平面α的夹角为45°，如图所示． OE为OB在平面α上的射影，所以∠BOE＝45°.过A作AH⊥平面BCD于点H，则H一定落在OB上， ∴∠AOH为OA与平面BCD所成的角， 且∠AOH＝∠AOE－∠BOE＝45°.又∠BOP＝60°， 由cos∠AOP＝cos∠AOB·cos∠BOP＝cos 45°cos 60°＝，∴∠AOP＝arccos， ∴ ＝Rarccos. 4．设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α－l－β的平面角为150°，则球O的表面积为(　　) A．4π B．16π C．28π D．112π 解析：选D.如图所示，|PO1|＝1， |PO2|＝，∠O2PO1＝150°， ∵P、O2、O1、O四点共面，OO2⊥O2P，OO1⊥PO1，∴∠O2OO1＝30°. 设球的半径为r，则有sin∠POO2＝＝，sin∠POO1＝. ∴sin∠O2OO1＝sin(∠POO2＋∠POO1)＝sin 30°＝. ∴r＝，∴S表＝4πr2＝112π. 5．已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，A、B两点间的球面距离为π，若三棱锥O－ABC为正三棱锥，则该正三棱锥的体积为(　　) A. B. C. D．36 解析： 选B.由题意可知，r＝OA＝OB＝OC＝3，∵A、B两点间的球面距离为π，∴∠AOB＝.∴AB＝3. ∵O－ABC为正三棱锥， ∴AB＝BC＝AC＝3. 过O作OO′⊥面ABC于O′，则O′为正三棱锥O－ABC底面的中心，连结AO′，∴AO′＝. 在Rt△OO′A中，OO′＝＝.S△ABC＝×3××3＝.∴VO－ABC＝××＝. 二、填空题 6．(2011·高考课标全国卷)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O-ABCD的体积为__________． 解析：依题意棱锥O-ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O′，连接OO′. 易知AC＝＝4， 故AO′＝2， 在Rt△OAO′中，OA＝4，从而OO′＝＝2. 所以VO-ABCD＝×2×6×2＝8. 答案：8 7. (2011·高考四川卷)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是__________． 解析：法一：设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcos α，圆柱底面半径为Rsin α， ∴S圆柱侧＝2π·Rsin α·2Rcos α＝2πR2sin 2α. 当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2， 此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2. 法二：设圆柱底面半径为r， 则其高为2. ∴S圆柱侧＝2πr·2. S′圆柱侧＝4π－ 令S′圆柱侧＝0，得r＝R. 当0rR时，S′0；当RrR时，S′0. ∴当r＝R时，S圆柱侧取得最大值2πR2. 此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2. 法三：设圆柱底面半径为r，则其高为2， ∴S圆柱侧＝2πr·2 ＝4π≤4π ＝2πR2. ∴当r＝R时，S圆柱侧最大为2πR2. 此时S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2. 答案：2πR2 8．(2011·高考课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 解析：如图，设圆锥底面圆半径为r，球