2011年高考一轮数学复习 9-7多面体和球理 同步练习(名师解析).docVIP

第9章 第7节 知能训练·提升 考点一：球的截面性质及球面距离 1．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如图．如果AB＝AC＝BC＝2，则球心到平面ABC的距离为(　　) A．1　　　　　　　　　B. C. D．2 答案：A 2．设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为(　　) A．3∶5∶6 B．3∶6∶8 C．5∶7∶9 D．5∶8∶9 解析：设球的半径为3R，依题意，得过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得到三个圆的半径的平方分别是(3R)2－(2R)2＝5R2、(3R)2－R2＝8R2、(3R)2＝9R2，因此这三个圆的面积之比为5∶8∶9，选D. 答案：D 3．把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为(　　) A.π　　　B．π C.　　　D. 解析：由题意可知AC＝2，取AC中点O，由A、B、C、D四点在同一球面上，且OA＝OB＝OC＝OD，知O为球心，半径R＝1.易知∠BOD为直二面角的平面角，∴∠BOD＝， ∴B、D两点间的球面距离l＝R＝. 答案：C 4．(2009·江西九校联考)已知球O的表面积为16π，且球心O在60°的二面角α－l－β的内部，若平面α与球相切于M点，平面β与球相截，且截面圆O1的半径为，P为圆O1的圆周上任意一点，则M、P两点的球面距离的最小值为________． 解析：如图，依题意，OM⊥α，OO1⊥β，∵球的表面积为16π， ∴球的半径r＝2，∴OM＝2，过M作MA⊥l， ∵平面β与球相截，连接AO1，交截面圆O1于P，此时点P即为所求，则截面圆O1的半径O1P＝，∠MAO1＝60°， ∴∠MOO1＝120°，在直角三角形PO1O中，PO＝2， ∴∠POO1＝60°， ∴∠POM＝60°，M、P两点的球面距离为π. 答案：π 考点二：球的表面积与体积 5．已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积． 解：右图为球的一个大圆截面．π·O1A2＝49π， 则O1A＝7. 又π·O2B2＝400π， ∴O2B＝20. (1)当两截面在球心同侧时， OO1－OO2＝9＝－， 解得R2＝625，S球＝4πR2＝2 500π. (2)当两截面在球心异侧时， OO1＋OO2＝9＝＋，无解． 综上，所求球的表面积为2 500π. 6．球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为(　　) A．4π B．4π C．8π D．8π 解析：设球的半径R，则任意两点的球面距离为×2πR＝＝πR，两点连弧(大圆弧)所对圆的圆心角为，两点的连线长度为R，则这三点构成正三角形，边长为R，过这三点的截面圆的半径为 ×R＝R，面积为π()R2＝4π， 所以R＝，所以V＝πR3＝8π. 答案：D 考点三：球的组合体 7．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，侧面SBA和侧面SBC成直二面角． (1)求证：侧面SBC为直角三角形； (2)若∠BSC＝45°，SB＝a，求三棱锥S－ABC的外接球的体积． 分析：(1)欲证侧面是直角三角形即证明BC⊥SB即可． (2)求外接球的体积的关键是找到球心的位置，求出半径，然后利用体积公式求解．解：(1)证明：过A作AD⊥SB于点D， ∵平面SBA⊥平面SBC，∴AD⊥平面SBC. ∵BC平面SBC，∴BC⊥AD. ∵SA⊥底面ABC，BC底面ABC， ∴SA⊥BC.∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB. ∴侧面SBC为直角三角形． (2)取SC的中点为O，连结AO、BO. 在Rt△SAC与Rt△SBC中，OA＝SO＝OC＝OB，即O到三棱锥S－ABC的四个顶点的距离相等，∴O为球心． ∵SB＝a，∠BSC＝45°， ∴SC＝a.∴球半径R＝a. V＝πR2＝πa3. ∴三棱锥S－ABC的外接球的体积为πa2. 8．(2010·淮安模拟)(1)三棱锥A－BCD的两条棱AB、CD，满足AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的半径；(2)若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高． 解：(1)如下图，取CD的中点E，连结AE、BE.因为AC＝AD，CE＝ED.所以在Rt△ACE中，AE＝＝4.同理，可得BE＝4.因为AB＝6，所以AB边上的高为.所以S△ABE＝×6×＝3.因为AE⊥CD，BE⊥CD，所以CD⊥平面ABE.所以VA－BCD＝×3×6＝6.S表＝S△ABC×4＝48，而S表··R＝VA－BCD，解得R＝.因此内切球