可达矩阵快速算法.docVIP

传递闭包Warshall方法计算可达矩阵简要介绍 　　① 在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。R的传递闭包在数字图像处理的图像和视觉基础、图的连通性描述等方面都是基本概念。一般用B表示定义在具有n个元素的集合X上关系R的n×n二值矩阵，则传递闭包的矩阵B+可如下计算： B+ = B + B2 + B3 + ……+ (B)n 　　 ② 式中矩阵运算时所有乘法都用逻辑与代替，所有加法都用逻辑或代替。上式中的操作次序为B，B(B)，B(BB)，B(BBB)，……，所以在运算的每一步我们只需简单地把现有结果乘以B，完成矩阵的n次乘法即可。 /ism/cal_warshall_get_r_mat_detail.php 　　Warshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。 　　其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：　　（1）置新矩阵A=M;　　（2）置k=1;　　（3）对所有i如果A[i,k]=1，则对j=1..n执行：　　　　　A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];　　（4）k增1;　　（5）如果k≤n，则转到步骤（3），否则停止。　　所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。　　在《离散数学》中都提及了该算法。 　　Warshall算法映射到有向图中 　　设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为u1,u2,…,un，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点ui和uj之间有一条路径且没有ui到uj的弧，则在图G中增加一条从ui到uj的弧，将这样改造后的图记为G’，则G’即为t(R)的关系图。G’的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从ui到uj路径，即ui与uj连通，则A[i,j]=1，否则A[i,j]=0。 　　 这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。 　　相乘矩阵，就为所有节点的关系图，也就是当前条件下的关系矩阵。　 　　对于相乘矩阵，进行叠代，叠代的过程为，行取值，然后计算值中对应的每一行的值取并集，得到当前行的关系集合。 　　取完所有行，得到了一个新的转移矩阵再对转移矩阵进行进行求解。 　　Warshall的叠代次数比逐次平方法的运行效率要高。如果图中的顶点是有序的排列，只要进行一次Warshall运算就可以获得可达矩阵。  您输入原始矩阵 matrix_A 为一个方阵结果如下 ?? a b c d e f g a ?? 1 ?? ?? ?? 1 ?? b ?? ?? 1 ?? 1 ?? ?? c ?? 1 ?? ?? ?? ?? ?? d 1 ?? ?? ?? ?? ?? ?? e ?? ?? ?? ?? ?? 1 ?? f ?? ?? 1 ?? ?? ?? ?? g ?? 1 ?? ?? ?? ?? ?? 第 1 次迭代?? ? ? ??当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a ）? ? ? ?? ? 1号要素 b 的可达集合c，e，b?? ? ? ?? ? 5号要素 f 的可达集合c，f?? ? ? ?? ? 0号要素 a 的可达集合b，f，a?? ? ? ??当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ）? ? ? ??当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b ）? ? ? ?? ? 2号要素 c 的可达集合b，c?? ? ? ?? ? 4号要素 e 的可达集合f，e?? ? ? ?? ? 1号要素 b 的可达集合c，e，b?? ? ? ??当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）? ? ? ??当前2号要素 c 的可达集合（b，c ）? ? ? ?? ? 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f?? ? ? ?? ? 2号要素 c 的可达集合b，c?? ? ? ??当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）? ? ? ??当前3号要素 d 的可达集合（a，d ）? ? ? ?? ? 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e?? ? ? ?? ? 3号要素 d 的可达集合a，d?? ? ? ??当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ）? ? ? ??当前4号要素 e 的可达集合（f，e ）? ? ? ?? ? 5号要素 f 的可达集合c，f?? ? ? ?? ? 4号要素 e 的可达集合f，e?? ? ? ??当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ）? ? ? ??当前5号要素 f 的可达集合（c，f ）? ? ? ?? ? 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f?? ? ? ?? ? 5号要素 f 的可达集合c，f?? ? ? ??当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，