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递推数列求通项案例 湘东中学 337016 吴伏宝 类型一 1.当,为常数时,此时为等差数列,直接用等差数列通项公式可求到. 2.当,为关于的函数时,此时可以利用等差数列求通项的方法累加求通项. 例1 在数列中,, ,求. 解: 例2 在数列中,, ,求. 解: . 3.当,为0时,此时为等比数列,可用等比数列通项公式求出. 4.当,的常数时,可构造等比数列求通项. 例3 在数列中, , ,求. 解: ,可设,可求得,即 故数列是以首项为4,公比为2的等比数列.,即. 5. 当,为关于的函数时, (1)为等差数列通项公式时,可利用累加求解,也可以用构造等差等比来求. 例4 数列中,, ,求 方法一: 求出. 方法二:由,可设, 则有,从而有 故,数列是首项为4,公比为2的等比数列, ,故 (2)为等比数列通项公式时,可利用累加,求通项,也可以构造等比数列. 例5 数列中,, ,求. 方法一:同例4方法一. 方法二:由,可设, 则有,从而有 故,数列是首项为-2,公比为2的等比数列, . 方法三:等式两边同除以可得.由,得. 这样就变为为常数形式,可构造等比数列来求. 6. 当为关于的函数,为0时,可利用等比数列求通项时所用的方法求通项. 例6 数列中,, ,求. 解: 7. 当为关于的函数,为常数时,可利用待定系数法先消去,变为类型6形式求解. 类型二 例7 已知数列中,, ,,求. 解:可设或, 即……………………………………………………………(1) 或……………………………………………………………(2) 由(1)知,数列是以首项为3,公比为3的等比数列,则……(3) 由(2)知,数列是以首项为2,公比为2的等比数列,则………(4) 由(3)-(4)得,. 注:由,可利用类型一中第5来做两边同除以得到. 类型三 为常数 例8 已知数列的各项均为正数,且满足,, ,,求. 解:由,即， 令,,两边取以底的对数,可得 令=,即,变成了第4种形式的可求出,再求最后求即可. 类型四 为常数 1.当时,两边取倒数可求出通项. 例9 在数列中, ,,求. 解:由,可得,故数列是以1为首项,为公差的等差数列, ,故. 2.当时,可先转换为上一种问题,即消去分子中的,再构造成等差或等比数列求解. 例10在数列中, ,,求. 解:用待定系数法,令,则有,或 .当时, ,令,则有变成 了上一种形式,两边取倒数即可求得.同样也可以求出,结果一样. 类型五 递推公式为与的关系式 思路一:消先求出,再求; 思路二:先消,再求. 例11 数列中,前项和为,已知, (1)求; (2)求. 解:由当时,, 当≥2时, , ,令, 数列为1,公差为1的等差数列,,即, 故有 注:(1)消得的关系式时,只要把代替即可;(2)消得的关系式,就再得一个关系式与的关系式,两式相减即可得与的关系式,再求就即可. 类型六 例12 已知数列中,且,求. 分析:先把转换成型. 解:由得,令,即,再两边求倒数即可求得: ,转化为 为常数型,构造等比数列即可. 类型七 归纳猜想法 例13 在数列中,,且,求. 解: ………………………………………………… 猜想 . 下面用数学归纳法来证明: ①当,时,显然成立; ②假设,时都成立,即, 则+=,即当时也成立. 猜想正确,故. 2