模型参考自适应控制系统.docxVIP

第四章模型参考自适应控制系统4.1 稳定型概念及基本定理在研究线性系统时，由系统特征方程的根可以判定系统的稳定性：特征根实部但对于非线性系统，难于求出特征根，微分方程难于求解，不能用特征根来判断系统稳定性。模型参考自适应控制系统是非线性系统，不能用研究线性系统稳定性方法来研究其稳定性。用直接法不需要解微分方程就可以判断其稳定性。稳定性定义平衡点设被控系统由向量微分方程描述(4.1-1)在初始条件（）下它的解为：式中状态向量向量函数若状态空间中某一点（某一状态）对所有时刻均满足则称为系统的一个平衡点。只要无外力作用，则系统永远处于该平衡状态。对于线性系统，若为非奇异矩阵，则系统只有一个平衡点对于非线性系统，可能存在一个或多个平衡点。通常假定平衡点为原点稳定性定义定义4.1-1（稳定性）如果对于给定时刻，只要，就总有，也就是说只要不越出邻域，则就不会越出邻域，则称平衡点在意义下是稳定的。如图4.1-1所示，其中为向量的范数——以为球心的超球体的半径，就是以为球心，为半径的超球体。一般来说，是和的函数，记为。若邻域, 和无关，对于任意稳定条件不变，则称平衡状态是一致稳定的。定义4.1-2（渐近稳定性）若满足下列条件，则称系统平衡状态是渐近稳定的：平衡状态(点)是意义下稳定的;存在一个实数，使得只要就有其中是系统的解。表明只要初始状态在邻域内，则从出发的解当，最终收敛于(平衡点)，渐近稳定性的解示意图如图4.1-2所示定义4.1-3(全局渐近稳定性)若平衡状态对所有(n维实数向量空间)都具有渐近稳定性，则称是全局渐近稳定的。定义4.1-4(不稳定性)若对于一个实数，总找不到一个实数，使时，有，，则称平衡状态为不稳定平衡状态。也就是说，从平衡点的邻域出发的系统轨线，不管多小，均离开区域，如图4.1-3所示。2．稳定性定理函数一个状态变量的标量函数满足则称为函数说明：函数是正定的若称为半正定的若称为半负定的若称为负定的二次型函数是一类重要的函数，它是系统能量的度量。在平衡点时能量为0，离开平衡点则系统具有一定的能量（位能，动能等等）。在平衡点附近（的邻域），则系统就是稳定的。因此，可以由函数来判定系统平衡点的稳定性。构成二次型函数的实矩阵是对称矩阵，由准则可以判断（即）的正定性。若矩阵的所有顺序主子式都大于0，即则是正定的。若是奇异矩阵，且它的所有顺序主子式非负，则是半正定的。连续时间系统的定理对于系统有平衡点即，若存在一个函数，它具有下列性质①和梯度连续（的连续函数）；②正定；③为负定；④；则这个平衡点为全局渐近稳定的。说明：满足①③条件，则这个平衡点是小范围渐进稳定的；若条件③改为半负定，则这个稳定点是稳定的，但不是渐进稳定的求取合适的函数对于线性定常系统它的平衡状态，渐近稳定的充要条件是对于任意给定的对称正定矩阵，存在一个对称正定矩阵，它是矩阵方程的唯一解。并且就是系统的函数证：取，∵∴是正定函数由于是正定的，∴是负定的， 可见是渐进稳定的举例：已知系统的运动方程为其中判断平衡点是否为稳定平衡点解：将微分方程改写成状态方程形式：令则选择为由此可见，对于任意，，∵当，时，而当时，∴负定，该平衡点，即，是稳定的。在应用定理时，如果一时找不到适当的函数来满足稳定条件，并不意味着系统不稳定。4.2用可调节系统状态变量设计MRAC系统设计问题的提法数学模型参考模型的状态方程 (4.2-1)被控对象的状态方程(4.2-2)其中和——模型的系数矩阵和输入矩阵，分别为和和——对象的系数矩阵和输入矩阵，分别为和，其中的矩阵元素和是对象受干扰影响的时变参数不能直接测量。引入可调前馈调节器和反馈调节器，如图4.2-1所示，这样就可以组成一个可调系统方程：代入(4.2-2)式得到：(4.2-3)MRAC系统设计问题的提法设系统广义状态误差向量为 (4.2-4)将(4.2-1)和(4.2-3)代入(4.2-4)，得到：(4.2-5)式(4.2-5)为广义误差方程，调节，调节MRAC设计任务是用稳定性理论求调整和的自适应规律，以达到状态收敛和参数收敛。即：求自适应律改写广义状态误差方程设，时，可调系统达到与参考模型完全匹配，即：将(4.2-5）式改写为：(4.2-6)式中(4.2-7)构造设二次型函数为 (4.2-8)式中都是对称正定矩阵对(4.2-8)式两边求导数由于, (转置矩阵的迹相等)将(4.2-6)式代入上式，得到由于, (标量相等，标量转置仍为标量)上式又因为最后得到： (4.2-9)上式中第一项为稳定矩阵，根据稳定性定理，可以选择，保证成立，其中为正定矩阵。这样第一项为负定。若选择则上式中第二和第三项都为0，为负定函数，保证MRAC系统是稳定的。因此得到参数自适应调节规律为：(4.2-10)和 (4.2-11)举例：设有一系统的参考模型