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Olympic Mathematics 2009.12.8 Zuhai No.004 本期目录 1．数学竞赛专题讲第四讲 整式2．各地赛3. 数学家谈数学竞赛 张景中院士谈数学竞赛 4. 新书推介： 《陶哲轩教你学数学》 5. 有奖问题征解 数学竞赛专题讲座 第四讲 整式 【奥赛赛点】 整式运算是一切代数运算的基础。与整式有关的竞赛题目的类型有求整式的值，证明代数恒等式，以及运用整式的恒等变形来解决一些应用问题等。 【解题思路与技巧】 1．在解答求代数式的值的问题时，除了直接代入计算外，要注意以下方法的应用：一是先化简代数式，二是可以考虑整体代入，三是运用乘法公式或因式分解化简后再代入。 2．在证明代数恒等式时，要注意比较要证明的等式两边的差异，一般可将较繁的一边逐步化到较简的一边；也可以将等式的两边相减，证明其差为0。 对于某些条件恒等式，要注意在恰当的时候运用题目所给的条件。 此外，配方，利用非负数的性质来解题，是由一个已知等式得到两个或三个等式的常用方法。 【典型示例】 例1 (2001年北京市初中数学竞赛试题) 证明恒等式：a4+b4+(a+b)4=2(a2+ab+b2)2 [证明]∵a4+b4+(a+b)4-2(a2+ab+b2)2 =(a2+b2)2-2a2b2+(a2+2ab+b2)2-2(a2+ab+b2)2 =[(a2+b2)2-(a2+ab+b2)2]+[(a2+2ab+b2)2-(a2+ab+b2)2]-2a2b2 =(2a2+2b2+ab) (-ab)+(2a2+3ab+ab2)·ab-2a2b2 =ab(-2a2-ab2-ab+2a2+3ab+2b2-2ab) =0. ∴a4+b4+(a+b)4=2(a2+ab+b2)2 例2 (第十届“汉江杯”初中数学竞赛题) 已知b2=ac, 求证：(a+b+c) (a-b+c) (a2-b2+c2)=a4+b4+c4. [证明]由b2=ac得a2c2=b4, 左边= (a2-b2+c2)=(a2+b2+c2) (a2+c2-b2)=a4+2a2c2+c4-b4=a4+b4+c4=右边 例3（1996年天津初中数学竞赛试题） 已知a+b+c=0, a3+b3+c3=0, 求a15+b15+c15的值。 [证明] 因为a3+ b3+c3-3abc=(a3+b3)+c(a2-ab+b2)-c(a2-ab+b2)-3abc+c2 =(a+b+c) (a2-ab+b2)-c[(a+b)2-c2]=(a+b+c)[(a2-ab+b2)-(a+b-c)c] =(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0, 所以abc=0, 从而a、b、c中至少有一个为0，不妨设c=0, 则a=-b. 因此a15+b15+c15=(-b)15+b15=0. 例4 （1990年西安初中数学竞赛试题） 已知a+b=1, a2+b2=2, 求a7+b7的值 [分析] 待求值的代数式次数较高，直接用已知的代数式a+b, a2+b2来表示a7+b7，使化简和计算复杂化，为了简便，先将代数式变形，逐步将幂升高。 [解] ∵a+b=1, a2+b2=2, ∴ab=, a3+b3=(a+b) (a2+b2-ab)=2-()=, a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=4-2×， ∴a7+b7= 例5 (1992年五届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题) 设a、b、c、d满足a≤b, a≤d, a+b=c+d以及a3+b3=c3+d3, 证明：a=c, b=d. [证明]由a3+b3=c3+d3， a+b=c+d≠0 得： a2-ab+b2=c2-cd+d2 ① 将a+b=c+d两边平方，得： a2+2ab+b2=c2+2cd+d2 ② ②-①化简得： ab=cd ①-③得： (b-a)2=(d-c)2 ③ 因a≤b, c≤d , 故b-a≥0, d-c≥0, 所以b-a=d-c ④ 将b-a=d-c与 a+b=c+d联立，得：b=d, 从而可得a=c。 例6(1992年江苏省初中数学竞赛试题) 设a、b、c、d都是正整数，并且a5=b4, c3=d2, c-a=19, 则d-b= . [分析]此题特点是字母多，关系多，解题时引入适当的参数，可以控制几个变量的变化，把几个变量的变化集中在一个参