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Olympic Mathematics 2012.2.20 Guangzhou No.012 本期目录列方程解应用题 【奥赛赛点】 应用题是数学竞赛题中的热门题型,它涉及的数学知识较多,综合性强,解法灵活,是开发学生智力,增强应用数学意识,培养学生分析解决问题的能力、逻辑思维能力和创造能力的好素材。解决数学应用题的关键是从实际的数学问题中抽象出数学模型，把反映实世界的实际问题转化为数学问题目来解决，不要局限于几种题目型。【解题的思路与技巧】 1、直接设未知数。 应用题往往题目较长，要读懂题意，找出已知和末知，紧抓题目中的等量关系，直接设末知数，通过等量关系列出方程或方程组，从而解决问题。2、设间接未知数。 有些应用题，直接设末知数不易求解，则可以采取间接设末知数的方法。即所设的不是所求的，但与所求的末知量有一定的联系，求出些量后，便能顺利地求出题目中的末知量，这样可以使解题更加方便。3、设辅助未知数。 应用题目涉及的类型很多，有些比较复杂的问题，设直接或间接未知数都很难解决，而此时设辅助未知数，依题意就能列出方程或方程组，从而解决问题目。辅助末知数起着桥梁的作用，设了这个辅助未知数，但并不一定求它，往往是直接相约或相消，有时要经过变形才能消法，即“设而不求”。 4、图形、表格分析法。有些复杂的应用题，已知量、末知量较多，而且它们之间的关系又较为复杂，通过构造图形、表格能直观地反映已知、末知及它们之间的相互关系，从而很轻松地解决问题。 5、整体思想。若把几个未知量看作一个整体，从整体的角度来考虑问题，可以减少未知量的个数，能达到化繁为简和目的。【典型示例】 例1(2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题) 某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元 (1)求x、y的关系式； (2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值. [解] (1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是： ax+by=1500，　　 ① 由甲商品单价上涨1.5元,乙商品单价上涨1元,并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.　　②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得： (a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.　 　③ 由①，②，③得： ④-⑤×2并化简，得x+2y=186. (2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186. 得54＜y＜. 由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 例2 （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题） 一罐咖啡甲乙两人一起喝10天喝完，甲单独喝则需12天喝完；一斤茶叶两人一起喝12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。假设甲在有茶叶的情况下决不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下决不喝茶。问两人一起喝完一斤茶叶和一罐咖啡需要多少天？ ， [解] 设乙单独喝咖啡要x天喝完，甲单独喝茶要y天喝完,则有 ，。解得x=60,y=30. 故30天后，甲喝完茶叶而乙只喝掉半罐咖啡，剩下半罐咖啡两人同喝要5天喝完，故共需35天。例3（2002年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题） 某汽气装配厂计划在规定的时限内组装汽车21辆，组装了6辆汽车后，又追加了组装5辆汽车的订单，要求交贷时间不超过原来规定的期限，通过挖潜改革，提高工效，平均每天比原计划多组装2辆汽车，结果提前1天交货。问追加订单后，平均每天组装多少辆汽车？请用两种方法列出相应未知数的方程，并解答其中的一个。 [解1] 设追加订单后，平均每天组装x辆汽车, 那么原来每天组装x-2辆，组装6辆已用时天，追加订单后用时（）天，共21-6+5=20辆。于是有 ()x=20, 解此方程取其正整数根,得x=5。 所以追加订单后，平均每天组装+2=5辆汽车. [解2] 设原计划用x天完成，每天组装辆，组装了6辆汽车用时x天, 追加订单后用时(x-x-1)天, 每天组装（+2）辆，共21-6+5=20辆。于是有 (x-x-1)(+2)=20 解此方程取其正整数根,得 x=7. 于是追加订单后，平均每天组装+2=5辆汽车. 例4 (1996年第一届汉城国际数学竞赛试题) 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔（每种各一支）装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、