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专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 1.（15北京理科）设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 2.（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1, ,,，,三棱锥表面积. 考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积. 3.（15北京理科）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点． (Ⅰ) 求证：； (Ⅱ) 求二面角的余弦值； (Ⅲ) 若平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析，（2），（3） 【解析】 试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面平面，借助性质定理证明平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐标，借助数量积为零，求出的值，根据实际问题予以取舍. 试题解析：(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则. (Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，则 ，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. （Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得 或，由于，则. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 4.（15北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：四棱锥的直观图如图所示： 由三视图可知，平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，. 考点：三视图. 5.（15北京文科）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）. 【解析】 试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC中得到，再利用面面垂直的性质得平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形VAB的面积，由于平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析：（Ⅰ）因为分别为AB，VA的中点， 所以. 又因为平面MOC， 所以平面MOC. （Ⅱ）因为，为AB的中点， 所以. 又因为平面VAB平面ABC，且平面ABC， 所以平面VAB. 所以平面MOC平面VAB. （Ⅲ）在等腰直角三角形中，， 所以. 所以等边三角形VAB的面积. 又因为平面VAB， 所以三棱锥C-VAB的体积等于. 又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等， 所以三棱锥V-ABC的体积为. 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式. 6.（15年广东理科）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】． 【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题． 7.（15年广东理科）如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，. （1）证明：； （2）求二面角的正切值； （3）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析