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导数的应用2（研究函数的极值） 【教学目标】 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤，对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 【教学重点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 【教学方法】 引导学生自主学习法 教学过程： 【知识回顾】 1．函数极值的定义： 设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有（或），就说是函数的一个极 值； 和 统称为极值； 2．求极值的步骤： (1) 求导； (2) 求根； (3)列表； (4) 确定. 【基础练习】 1. 函数的极大值为 ,极小值为 . 5， 2. 函数的极大值与极小值之和为___________. 解：函数的定义域为，，令， 解得或. 列表： + － + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当时，函数有极大值 当时，函数有极小值. 答案为0 3. 若函数在处极值为，则______，______. 解：，由题意，，，解得，或，. 4. 函数的定义域为，其导函数内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是________. 解：函数在处取得极值必须满足两个条件：（1）为的根；（2）导数值在左右异号.所以，有3个极值. 【典型例题】 例1． 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 若对x(〔－1，2〕，不等式f（x）(c2恒成立，求c的取值范围. 例2. 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f(（x）＝3x2＋2ax＋b 由f(（）＝，f(（1）＝3＋2a＋b＝0得 a＝，b＝－2 f(（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x （－(，－） － （－，1） 1 （1，＋(） f(（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ( 极大值 ( 极小值 ( 所以函数f（x）的递增区间是（－(，－）与（1，＋(） 递减区间是（－，1） （2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x(〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c 为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）(c2（x(〔－1，2〕）恒成立，只需c2(f（2）＝2＋c 例2.函数既有极大值又有极小值，求的取值范围. 解：，由题意，有两个不等的实根，即，解得或. 例3．已知函数，其中，求函数的单调区间与极值． 解：． 由于，以下分两种情况讨论． （1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． （2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 【反馈练习】 1. 求函数的极值. ∴当时，函数有极大值 当时，函数有极小值. 2. 函数, 已知在时取得极值, 则 5 3．已知在和处取得极值，且. （1）试求实数的值. （2）试判断时函数取得极大值还是极小值，并说明理由. 解：（1），由 ，，解得，，； （2），，当或时，当时，.函数在和上是增函数，在上是减函数. 所以，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值. 【小结】 1、对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间