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用导数研究函数的最值一 【教学目标】 1.了解函数最值的概念，区别最值与极值的概念 2.掌握求函数的闭区间上的最值的导数方法及一般步骤 3.会运用比较法确定函数的最值点. 【教学重点】 用导数的方法求函数的最值 【教学难点】 含参问题的分类讨论 【教学方法】 引导学生自主学习法 教学过程： 【知识回顾】 1. 如果函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值；如果函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最小值. 2. 求可导函数在上的最大或最小值的一般步骤和方法： ①求函数在上的极值； ②将极值与区间端点的函数值 比较，确定最值 【基础练习】 1. 设函数在区间上满足，则函数在区间上的最小值为__________，最大值为___________. 2. 函数在上的最大值，最小值分别是 3, -7 ． 3．函数＝在区间上的最大值与最小值分别是 68, 4 ． 4．如果函数f(x)=x4－8x2+c在[－1，3]上的最小值是－14，那么= 2 ． 【典型例题】 1. 求最值问题 例1．求下列函数的最值： （1）f(x)=3x-x3,( -≤x≤)； （2）f(x)=sin2x-x,(-≤x≤). 解：（1）=3-3x2,令=0，得x=±1，∴f(1)=2，f(-1)= -2， 又f(-)=0，f()=0, ∴f(x)在[-，]上的最大值是2，最小值是-2； （2）=2cos2x-1, 令=0，得x=±, ∴f()=-,f(-)= -+, 又f(-)=,f()=-, ∴f(x)在[-，]上的最大值是，最小值是-. 例2．设函数 （1）求函数的单调区间、极值；（2）若，试求函数的最值． （1）令，解得； 列表： x a 3a － 0 + 0 － 递减 递增 b 递减 由表可知：当时，函数为减函数；当时，函数也为减函数；当时，函数为增函数. ∴当x=a时，的极小值为；当时，的极大值为b. （2），列表如下： x 0 a 3a － 0 + 0 b 递减 递增 b 由表知：当时，函数为减函数；当时，函数为增函数. ∴当x=a时，的最小值为；当或时，的最大值为b. 2. 已知最值，求参数值问题 例1．已知函数 (1) 求的单调递减区间; (2) 若在区间上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值. 解：（1），令，解得或，所以函数的单调减区间为. （2），，则.由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，因此和分别是在上的最大值和最小值，所以，解得. 则，因此. 即函数在上的最小值为. 例2．已知f(x)=ax3－6ax2+b在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，则a=___________． 解：，令，解得或（舍去） （1）时， 分析可知当时，函数有最大值，从而，又，，所以，. （2）时， 当时，函数有最小值，从而，又，，所以，. 综上可知，，或，. 【反馈练习】 1．已知函数，当时，求函数的最大值与最小值. 极小值=f(-2)=-16, 2． 已知: 为常数)在上有最大值是3, 那么在上的最小值是 -37 【课堂小结】 1.求可导函数在上的最大或最小值的一般步骤和方法： ① 求函数在上的极值； ② 将极值与区间端点的函数值 比较，确定最值 2.极值处导数一定为零，反之未必成立，要检验 【课后作业】 班级 姓名 学号 1. 函数在区间上的最大值为______；在区间上最大值为________． 2. 已知函数. （1）求函数在上的最大值和最小值. （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程. 答案：（1）当时，；当时， （2）或 3. 已知函数． （1）当时，求的零点；（2）求函数在区间上的最小值． 答案：（1） 或; （2）综上所述，所求函数的最小值. 4. 已知定义在上的函数，其中为常数. （1）若，求证：函数在区间上是增函数； （2）函数，在处取得最大值，求正数的取值范围. 答案：（2） 5．已知函数的切线方程为y=3x+1；（1）若函数处有极值，求的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值； （3）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围． 答案：（1）． （2）在[－3，1]上的最大值为13． （3）参数b的取值范围是． 【教学反思】 1 、