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江苏省高中数学竞赛题 篇一：江苏省高中数学联赛试题2013 2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1．设方程x2?2mx?m2?1?0的根大于?2，且小于4，则实数m的范围是 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ． 3．设实数x，y满足x2 ?4x?y?3?0，则x2 ?y2 的最大值与最小值之差是 4．若存在正实数a，b满足(a?bi)n ?(a?bi)n （i是虚数单位，n?N* ），则n的最小值是 ． 5．若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则?A的取值范围是 ． 6．若数列?a* n?满足a4?9，(an?1?an?1)(an?1?3an)?0（n?N），则满足条件的a1的 所有可能值之积是 ． 60 7．已知f(x)?x2 ?94x?2013，则 f(n)? f(n)?? ． n???30 8．设x，y??0,2??，且满足2sinxcos y?sinx? cosy?1 2 ，则x?y的最大值 为 ． 9．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是面ABC上的一个动点，满足P到面DAB、 DBC、DCA的距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是 10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．设k为实数，0?k?6，椭圆E(x?k)2x22 1:9?y?1与椭圆E2:9 ?y2?1交于点A和 C，E1的左顶点为B，E2的右顶点为D（如图），若四边形ABCD是正方形，求实数k． 12．如图，梯形ABCD中，B(来自:www.xLtKwj.coM 小 龙 文档网:江苏省高中数学竞赛题)、D关于对角线AC对称的点分别是B#39;、D#39;，A、C关 于对角线BD对称的点分别是A#39;、C#39;．证明：四边形A#39;B#39;C#39;D#39;是梯形． 1 13．设实数a，b满足0?a??b?1．证明：2(b?a)?cos?a?cos?b． 2 14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等 腰梯形的顶点． 2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题参考答案 1． (-1,3) 2． 1733 ． 3． 8 4． 3 5．0??A? ? 3 ． 6． 7． 364 8． 23? 6 ． 9． 10． 12 11．析：BD=6-k=AC 又 AC=3 得k=4.8 12．析:连AO,B’O,C’O,D’O 易证 A,O,C’; B’,O,D’共线（角度），由比例线段证 毕。 13．析:记f(x)=cos?x?2x,则f(x)=??sin?x?2，令f(x)=0 ， arcsin 2 则x= ? ?0.2196,所以 xlt;0.2196时 f(x)0 , x0.2196时 f(x)lt;0 所以f(a)≥min{f(0),f(1)}=1,f(b)≤f(0.5)=1,所以f(b)≤f(a) ，证毕。 14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等 腰梯形的顶点． 根据抽屉原理，必定存在34个点同色。该34个点连成34*33/2=561条线段。 考虑这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴。正100边形的对称轴有200条，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合。 所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，于是构成等腰梯形四个顶点且同色，证毕。 篇二：2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 考生注意：1.本试卷共两大题（14小题），全卷满分150分，考试时间：120分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器. 一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分.要求直接将答案写在横线上.） 1.若关于x的不等式|x?a|?b的解集为{x|2?x?4}，则ab的值是________. 2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是______. 3.已知函数f(x)是周期为4的奇函数，且当x?(0,2)时,f(x)?x2?16x?60, 则f的值是_______. 4.已知直线l是函数f(x)?2