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校本教材,高中数学 篇一：高中数学校本课程(整理) 竞赛讲座一函数的性质 第一讲 函数的单调性 一．学习目标 会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。 二．知识要点 单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性 三．例题讲解 例1.已知f(x)???(3a?1)x?4a(x?1)是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 logx(x?1)?a （A）(0,1) 11（C）[,) 731（B）(0,) 31（D）[,1) 7 【答案】C 【解析】由题意知f(x)?logax(x?1)在(1,??)上为减函数，所以0?a?1 ， f(x)?(3a?1)x?4a(x?1) 在(??,1)上为减函数，所以3a?1?0 ，且当x?1时，(3a?1)?1?4a?loga1 ，由得答案为C. 例2已知函数f(x)? 【讲解】用定义判断。 x?1?x，判断该函数在区间?0,??)上的单调性，并说明理由． 设0?x1＜x2,f(x1)?f(x2)=x1?1?x1?x2?1+x2 =x1?x2 x1?1?x2?1x2?x1 11 =(x1?x2)(?) x1?1?x2?1x2?x1 11 x1?1?x2?1＞x2?x1＞0,＜ x1?1?x2?1x2?x1 11又x1＜x2 (x1?x2)(?)＞0 x1?1?x2?1x2?x1 f(x1)?f(x2) ∴该函数在区间?0,??)上的单调递增。 例3. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数 t=－x2+2 y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 对于f ( t ) =?(t?1)+9,可知当t?(??,1)时是增函数，当t?(1,??)时是减函数。 对于由t=－x2+2＞1得?1?x?1 ，当x?(?1,0)时是增函数，当x?(0,1)时是减函数。 由t=－x2+2＜1得x?1或x??1，当x?(??,?1)时是增函数，当x?(1,??)时是减函数。 由复合函数的单调性可知，f ( x )的单调递增区间是(??,?1) 和(0,1)。 例4. 已知函数y?x?2+x2?x1 a有如下性质：如果常数a? 0，那么该函数在上是减函数，在x? ??上是增函数。 ? 2b (x?0)在?0,4?上是减函数，在?4,???上是增函数，求b的值。 （1）如果函数y?x?x （2）设常数c??1,4?，求函数f(x)?x?c(1?x?2)的最大值和最小值； x n（3）当n是正整数时，研究函数g(x)?x? 【讲解】： (1) 由已知得2b=4, b=4. (2) ∵c∈[1,4], ∴c∈[1,2], 于是,当x=c时, 函数f(x)=x+ f(1)－f(2)=c(c?0)的单调性，并说明理由。 nxc取得最小值2c. xc?2, 2 c； 2当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+ 当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c. (3)设0lt;x1lt;x2,g(x2)－g(x1)=x2?ncccnnn?x??(x?x)(1?). 121nnnnx2x1x1x2 当clt;x1lt;x2时, g(x2)g(x1), 函数g(x)在[c,+∞)上是增函数；当0lt;x1lt;x2lt;c时, g(x2)g(x1), 函数g(x)在(0, 当n是奇数时,g(x)是奇函数, c]上是减函数. 函数g(x) 在(－∞,－a]上是增函数, 在[－2a,0)上是减函数. 当n是偶数时, g(x)是偶函数, 函数g(x)在(－∞,－a)上是减函数, 在[－a,0]上是增函数. 3??(x?1)?1997(x?1)??1例5 设x, yR，且满足?，求x+y. 3?(y?1)?1997(y?1)?1? 【讲解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若alt;b，则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2. 例6． 已知函数y?f(x)的定义域为R，且对任意x1,x2R都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，当x?0时，f(x)?0，f(1)?a，试判断在区间[－3,3]上f(x)是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若没有，说明理由. 【讲解