初中数学里的数形结合法.doc

初中数学里的数形结合法 篇一：初中数学中 “数形结合”的运用 初中数学中 “数形结合”的运用 一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)之间的距离可以用公 式AB?y?2x?10的距离． 2x?10)是直线y?2x?10上的任意一点，它到原点的距离是 解：设P(x， OP??当x?? 4时，OP最小? 所以原点到直线y?2x? 10的距离为 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 2mn和m?n（m、例2．已知?ABC的三边长分别为m?n、n为正整数，且m?n）．求?ABC 的面积（用含m、n的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：2222(m2?n2)2?(m2?n2)2?(2m2)(n22?)?ABC的三边满足勾股定理，，即?ABC(m2n也就是说，) 是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为a、b、c，p为周长的一半，则三角形的面积S为： S 解：由三边的关系：(m?n)?(2mn)?(m?n)． 所以?ABC是直角三角形． 所以?ABC的面积(m2?n2)(2mn)?mn(m2?n2)． 2 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内 功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的． 例3．直线y?bx?c与抛物线y?ax2相交，两交点的横坐标分别为x1、x2，直线y?bx?c与x轴的交点的横坐标为x3．求证：111??． x3x1x2 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a、b、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦． 解：直线y?bx?c与x轴的交点的横坐标为x3， bx3?c?0． x3??c． b 1b??． x3c 直线y?bx?c与抛物线y?ax2两交点的横坐标分别为x1、x2， x1、x2为关于x的一元二次方程ax?bx?c?0的两个不等实根． 2 bc，x1x2??． aa b 11x1?x2b?????． cx1x2x1x2c?ax1?x2?∴111??． x3x1x2 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思 考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考 虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算 出剪拼出来的正方形边长应该是 ，我们就不 难设计出各种剪裁方法了． 【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名 字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现． 二、以形助数 几何图形具有直观易懂的