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小结 作业布置 * 1.2.1 排 列 分类加法计数原理 如果完成一件事情有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法。 类类独立，不重不漏 分步乘法计数原理 完成一件事情需要有n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。步步相依，步骤完整 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 问题引导　开门见山 ３种 ２种 ３×２＝６种 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 分析： 树形图： ４种 ３种 4× 3×2＝24种 ２种 问题2 从１、２、３、４这四个数字中，取出3个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？ 分析： １ ２ ３ ４ ３ ４ ２ ４ ２ ３ ２ １ ３ ４ ３ ４ １ ４ １ ３ ３ １ ２ ４ ２ ４ １ ４ １ ２ ４ １ ２ ３ ２ ３ １ ３ １ ２ 树形图： 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动,有哪些不同的排法? 实质是：从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？ 问题2 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 实质是：从4个不同的元素中, 任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法. 思考：上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？ (1)有顺序的 (2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等 基本概念 1、排列： 从n个不同元素中取出m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 说明： 1、元素不能重复：n个中和m个中都不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。 （有序性） （互异性） 思考:下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）有10个车站,共需要多少种车票？ （6）有10个车站,共需要多少种不同 的票价? √ √ √ （7）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？ √ 2、排列数： 由于每解决一个问题都要画树形图太麻烦，我们不妨寻找一个计算这类问题的公式。 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。 英文Arrangement的第一个字母 n为元素总数 m 为取出元素的个数 基本概念 “排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 数，而不表示具体的排列。 所有排列的个数，是一个数； “排列数”是指：从 个不同元素中，任取 个元素的 所以符号 只表示排列 “一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 照一定的顺序排成一列，不是数； 个元素按 问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为 ，已经算出 　　问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为　　，已经算出 第2位 第1位 n n-1 探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少？ 第2位 第1位 n n-1 第3位 n-2 第2位 第1位 n n-1 第3位 n-2 第m位 …… n-m+1 （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数． 观察排列数公式有何特征： 排列数公式（1）：乘积式 就是说，ｎ个不同元素全部取出的排列数，等于正整数１到ｎ的连乘积， 正整数１到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘， 用ｎ!表示， 所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成 特别的：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有 另外，我们规定　0!＝1 排列数公式（2）：阶乘式 说明： 1、排列数公式的第一个常用来