第3章_线性代数方程组的数值解法_new课件.ppt

定理5(迭代法收敛的充分条件) 设有方程组 x=Bx+f， B=(bij)∈Rn×n， 及一阶定常迭代法 x(k+1)=Bx(k)+f. 如果有B的某种算子范数||B||=q1 ，则 (1) 迭代法收敛，即对任取x(0)有 定理6 设方程组Ax=b，如果 　　(1) A为严格对角占优阵，则解Ax=b的Jacobi迭代法, Gauss-Seidel 迭代法均收敛. 　 (2) 若A为正定矩阵，则方程组 Ax=b的Gauss- Seidel 迭代法收敛. 已知线性方程组AX=b，其中 讨论雅克比迭代和高斯迭代的收敛性？ 2、设有线性方程组 5X1+2X2+X3=-12 -X1+4X2+2X3=20 2X1-3X2+10X3=3 证明用雅克比，高斯迭代法解此方程组均收敛？ 　　对于给定方程组x=Bx+f，设有唯一解x*，则 x*=Bx*+f .　　　　　　(1.5) 又设x(0)为任取的初始向量, 按下述公式构造向量序列 x(k+1)=Bx(k)+f , k=0,1,2,?.　　(1.6) 其中k表示迭代次数. 定义1 (1)对于给定的方程组x=Bx+f , 用公式(1.6)逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代法，这里B与k无关). B称为迭代矩阵. (2) 如果limx(k) (k→∞)存在(记为x*), 称此迭代法收敛, 显然x*就是方程组的解, 否则称此迭代法发散. 3.5.1 迭代法的收敛性 6.3.1 一阶定常迭代法的基本定理 其中，A=(aij)∈Rn×n为非奇异矩阵，记x*为(3.1)精确解，且设有等价的方程组 设线性方程组 Ax=b， (3.1) 于是 　　设有解Ax=b的一阶定常迭代法 　　有意义的问题是：迭代矩阵B满足什么条件时，由迭代法产生的向量序列{x(k)}收敛到x*. 引进误差向量 由(3.3)式减(3.2)得到误差向量的递推公式 由6.1节可知，研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究迭代矩阵B满足什么条件时，有. 由上述讨论，需要研究{x(k)}的收敛性. 引进误差向量 由(1.6)减去(1.5)式，得ε(k+1)=Bε(k)(k=0,1,2,?)，递推得 要考察{x(k)}的收敛性，就要研究B在什么条件下有limε(k)=0 (k→∞)，亦即要研究B满足什么条件时有Bk→0(零向量) (k→∞) . 定义2 设有矩阵序列 Ak=(aij(k))∈Rn×n 及A=(aij)∈Rn×n，如果n2个数列极限存在且有 则{Ak}称收敛于A，记为lim (k→∞). 　　例4 设有矩阵序列{Ak}, 其中Ak=Bk,而 且设|λ|1，考查矩阵序列极限. 　解 显然, 当|λ|1时, 则有 　　矩阵序列极限概念可以用矩阵算子范数来描述. 定理1 　　　　　　　　　　　　　其中||·||为矩阵的任意一种算子范数. 　　定理2 定理3 设B=(bij)∈Rn×n，则limBk=0 (k→∞)(零矩阵)的充分必要条件是矩阵B的谱半径?(B)1. 定理4(迭代法基本定理) 设有方程组 x=Bx+f. (3.4) 及一阶定常迭代法 x(k+1)=Bx(k)+f. (3.5) 对任意选择初始向量x(0)，迭代法(3.5)收敛的充要条件是矩阵B的谱半径?(B)1. 　　定理4是一阶定常迭代法的基本理论. 定理3和定理4的结论和起来即为 (1) 迭代法x(k+1)=Bx(k)+f 收敛?limBk=O； (2) 迭代法x(k+1)=Bx(k)+f 收敛??(B)1. 3.5.1 基本迭代法 其中，A=(aij)∈Rn×n为非奇异矩阵，下面研究任何建立Ax=b的各种迭代法. 设线性方程组