《正弦定理和余弦定理》新课程高中数学高三第一轮学案和测评复习课件.pptVIP

* * 第七节 正弦定理和余弦定理 基础梳理 1. 设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外接圆半径. (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 =2R. (2)正弦定理的三种形式 ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A= ,sin B= ,sin C= ; ③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2. 三角形常用面积公式 (1)S= ah(h表示三角形长为a的边上的高）. (2)S= ah= acsin B= bcsin A= absin C. (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径）. 3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍.即 或 典例分析 题型一 正弦定理和余弦定理的应用 分析 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A. 4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别化为： , , . 【例1】在△ABC中，已知a= ,b= ,B=45°，求A、C和c. 解 方法一:∵B=45°90°,且ba,∴问题有两解. 由正弦定理，得sin A= ∴A=60°或A=120°. (1)当A=60°时，C=180°-A-B=75°, ∴c= (2)当A=120°时，C=180°-A-B=15°, ∴c= 故A=60°,C=75°,c= 或A=120°,C=15°,c= . 方法二:由余弦定理有 即 整理得 解得c= 或c= . 又cosA= ① 当a= ,b= ,c= 时,由①可得cosA=- ,故A=120°; 当a= ,b= ,c= 时，由①可得cosA= ,故A=60°. 故A=60°,C=75°,c= 或A=120°,C=15°,c= . 学后反思 对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论. 举一反三 1. 已知在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值. 解析: ∵acb,∴角A为最大角. 由余弦定理有cosA= ∴A=120°， ∴sin A= ,再根据正弦定理，有 ∴sin C= 题型二 三角形的面积问题 分析 三角形外接圆的直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A=60°,只要再能求出边a,问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键. 【例2】在△ABC中，A=60°,b=1,其面积为 ,则△ABC外接圆的 直径是 . 解 由题意知， = bcsin A,所以c=4. 由余弦定理知：a= 再由正弦定理2R= 即△ABC外接圆的直径是 . 举一反三 学后反思 要注意正弦定理的统一形式： (其中R为三角形外接圆的半径），这个定理还可以写成 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,或 等形式. 2. （2009·北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B= , cos A= ,b= . (1)求sin C的值； （2）求△ABC的面积. 解析 （1）∵角A、B、C为△ABC的内角，且B= ，cos A= , ∴ (2)由（1）知 . 又∵B= ,b= ,∴在△ABC中，由正弦定理得 . 于是△ABC的面积S=12absin C= . 题型三 判断三角形的形状 【例3】在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状. 分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理和面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型. 解 方法一:由正弦定理，设 =k0， ∴a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得 ksin Acos A+ksin Bcos B=ksin Ccos