基础工程第3章3连续基础34-36.pptVIP

* 3.4 文克勒地基上梁的计算 3.4.1 无限长梁的解答 1. 微分方程式 根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为： 由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到： 将式（3-9）连续对坐标x取两次导数，便得： 对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为： 上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。 采用文克勒地基模型时， 根据变形协调条件，地基沉降等于梁的挠度：s=w， 上式即为文克勒地基上梁的挠曲微分方程。 λ称为梁的柔度特征值，量纲为[l/长度]，其倒数1/λ称为特征长度。λ值与地基的基床系数和梁的抗弯刚度有关，值愈小，则基础的相对刚度愈大。 上式是四阶常系数线性常微分方程，可以用比较简便的方法得到它的通解： 式中C１、C２、C３和C４为积分常数 2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下 边界条件：当x→∞时，w→0。将此边界条件代入上式，得C１=C２=0。于是，对梁的右半部，上式成为： 对称性：在x=0处，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，则上式成为 静力平衡条件：再在O点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。 F0 +V 符号规定 将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数： 对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝对值代入计算，计算结果为w和M时正负号不变，但q 和V则取相反的符号。 （2）集中力偶作用下 当x→∞时，w→0，C１=C２=0。 当x=0时w=0，所以C3=0。 M0 M0/2 在右侧截面有M=M0/2，由此得C4=M0λ2/kb，于是 求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下： 当计算截面位于M0的左边时，上式中的x取绝对值，w和M取与计算结果相反的符号，而q 和V的符号不变。 多个集中荷载作用： 注意在每一次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处。 3.4.2 有限长梁的计算 对于有限长梁，有多种方法求解。这里介绍的方法是以上面导得的无限长梁的计算公式为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由端边界条件的解答，其原理如下。 附加荷载FA 、MA和FB 、MB称为 梁端边界条件力。 设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别为Ma、Va及Mb、Vb，则 解上述方程组得： 当作用于有限长梁上的外荷载对称时，Va=-Vb，Ma=Mb，则式（3-24）可简化为： 计算步骤归纳如下： 　（1）按式（3－18）和式(3-21)以叠加法计算已知荷载在梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ两端的A 和B截面引起的弯矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb; 　（2）按式（3-24）或（3-25）计算梁端边界条件力FA 、MA和FB 、MB； 　（3）再按式（3-18）和（3-21）以叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ所求截面处的w、q、M和V值。 3.4.3 地基上梁的柔度指数 　在梁端边界条件力的计算公式[式（3-24）]中，所有的系数都是ll 的函数。ll 称为柔度指数，它是表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值。当ll →0 时，梁的刚度为无限大，可视为刚性梁；而当ll →∞时，梁是无限长的，可视为柔性梁。 λl≤π/4 短梁（刚性梁） π/4 λl π 有限长梁（有限刚度梁） λl≥π 长梁（柔性梁） 对短梁，可采用基底反力呈直线变化的简化方法计算；对长梁，可利用无限长梁或半无限长梁的解答计算。在选择计算方法时，除了按ll值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。对于柔度较大的梁，有时可以直接按无限长梁进行简化计算。 例如，当梁上的一个集中荷载（竖向力或力偶）与梁端的最小距离xπ/λ时，按无限长梁计算w、M、V的误差将不超过4.3％；而对梁长为π/λ，但荷载作用于梁中部的梁来说，只能按有限长梁计算。 xπ/λ π/λ 3.4.4 基床系数的确定 根据式（3-1）的定义，基床系数k可以表示为： k = p/s （3-26） 由上式可知，基床系数k不是单纯表征土的力学性质的计算指标，其值取决于许多复杂的因素，例如基底压力的大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载影响等。因此，严格说来，在进行地基上梁或板的分析之前，基床系数的数值是难于准确预定的。