1944线段的垂直平分线.pptVIP

挑战自我 * A B 线段的垂直平分线 PA=PB P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 P M N C 动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； 量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ 证明: ∵MN?AB（已知） ∴?PCA=?PCB(垂直的定义) 在?PCA和?PCB中, AC=CB(已知), ?PCA=?PCB(已证) PC=PC(公共边) ∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) A B P M N C 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 已知：如图， 点P在MN上. 求证： 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 线段的垂直平分线 A B P M N C PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 A B C M N ? P 当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷? ?PCA与?PCB将不存在. PA与PB还相等吗? 相等! 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB 线段的垂直平分线 A B P C 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 ? 逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。 A B P C ? 已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直 平分线MN上. 过点P作PC?AB垂足为C. 在Rt ?PCA和Rt ?PCB中 PA=PB，PC=PC ∴ ?PCA ≌ ?PCB(HL) ∴ＡＣ＝ＢＣ ∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上. 证明: 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 逆定理 A B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? M N ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A B M N 和线段两个端点距离相等的所有点的集合. 线段的垂直平分线可以看作是 如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O。 （1）求证：OA=OB=OC。 （2）点O是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？ A 0 C B 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上 ∴OA=OB ∵点O在线段BC的垂直平分线上 ∴OB=OC ∴OA=OB ∴点O在线段AC的垂直平分线上 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 泰安市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B C 实际问题1 B A C 线段的垂直平分线 1、求作一点P，使它和△ABC的三个顶点距离相等. 实际问题 数学化 p PA=PB=PC 实际问题1 高 速 公 路 A B 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么? 生活中的数学 L 1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____ 4cm 2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm; (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______. 10 200 3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______. 700或200 证明:连结BC. ∵ AB＝AC(已知)， ∴ A点在线段BC的垂直平分线上 (垂直平分线性质定理) 同理，D点也在线段BC的垂直平分线上. ∵ 两点确定一条直线， ∴ 直线AD是线段BC的垂直平分线. ∵ E是AD延长线上一点(已知)， ∴ BE＝CE(垂直平分线性质定理) 例1 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC， E是AD延长线上一点. 求证：BE＝CE. D C E B A 证明：连结MA. ∵ MN垂直平分线AB(已知)， ∴ BM＝AM(垂直平分线性质定理) ∴ ∠B＝∠MAB(等角对等边). ∵ AB＝AC(已知)， ∴ ∠B＝∠C(等边对等角). ∵ ∠BAC＝120°，