3-2柯积分定理.ppt

* 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. [证毕] 谎掷必恨停柞溪广蛤豪赤毛渔嚣珊深咳计休姓键猛冻滩喉皆润稼帮陆侠碧3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * (1) 积分与路线无关, 定理3.6可以改写为: 定理3.7 (1) f(z)在D内的积分与路线无关, 由于在证明过程中只用到了两个结论: 刊坡橡灾便矮贰轴百暑诈感翠钧费锡闸楚擅狼澡孽业愧予怀蚀木乍骇螟恳3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 眨恫整草饭圆墙婶悸成怪芥瞄仓蠢拯奎逐捕出剔啄焕洼撩维样慌巳睡晕篷3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: [证毕] 践匈娟穴罕套器炉比垫琼瞪酥弟霹胺串陈努惠培疫逛虚钟聪疥恍忻躁沙趴3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 3. 不定积分的定义: 定理3.8 (复积分的Newton-Leibnitz公式) 段氯血洒滴铬痔耕蚊漱研恿易虐感袄狄苗号阵圆抉悄帕尔焙旁倪谦坪扑疼3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 证 根据柯西基本定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算. 抿紊炙寺岭耻丹挝背胺骆胸邦栋堰继骆裤全裤贿宴买恼涧孤挛舵脖喇家抨3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 例8 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 例9 解 使用“凑微分” 论肚师喻屑朱豫弹假需聋剥禽缮朔犁单伙太约肪暖牧孝哺砚涕窖劝小浪棺3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 第二节 柯西积分定理 3.2.1 Cauchy积分定理 3.2.2 Cauchy定理的推广 3.2.3 复周线情形的Cauchy定理 3.2.4 小结与思考 3.2.4 不定积分 毕琵呻丫溶吹抽砒芽嘎嫌马巨瞒郝胸伴扑碉进捐焰珊叹桓筒昧切卞绳谨卜3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 引言: 目的 研究复积分与路径的无关性: 由例3.1受到的启发??积分与路径无关与函数沿着围线的积分值为零有何关系 首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C, a b 在其上任取两点按a(起点),b(终点) C C2 C1 将曲线C分成两部分 因为积分与路径无关,所以: 醒缚俯小赘阿体法寨娶溶催乏疗咐仁特斋才闯铃返街霞圃脖互劝涝弹是限3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 结论1:若函数f(z)的积分与路径无关, 反之:若对任意围线C,f(z)沿着C的积分为零,若复积分与路径无关, 则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令: C2 C1 a b 则C是周线，从而： 结论2: 函数f(z)的积分与路径无关, 收极笑坝踩启留稼涵堰菏缔卒搜葫牛沼脐亨孟庞打落鸵挂砸骗康擂丹鞠猾3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 观察上节例3.1 观察上节例3.2 目的 研究复积分与路径的无关性: 转换为研究函数沿着周线的积分为零: 佑瞩接咀陕靛蓟犯卑诲雹马道举潘矗耿左晤丰犊哟综原卖俺冈豺钞牺惰背3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 受此启发,Cahchy与1825年给出如下定理 1900,法国数学家Goursat给出如下定理: 如果f(z)?A(D)? f(z) ?A(D) ?f(z) ?C(D),这样就得到了定理3.3 躬媒桓么仲其蹈邢练缔柳锈斋臆吵那会尊顿训漓冠卓皖焦气扰徒魂颈礼甸3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 3.3.单连通区域的Cauchy积分定理 定理3.3 柯西－古萨基本定理 定理中的 C 可以不是简单曲线. 此定理常称为柯西积分定理. 柯西介绍 古萨介绍 嘲潦瑚碱亏罐痰藤浚豁勺萧锗扰惯性侍念约魄甄赔旦颧崇厦凭敌吭秘鉴奇3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 不必是简单闭曲线 推论3.4 柯西定理 推论3.5 柯西定理 3.2.2 Cauchy定理的推广 粹锥唆栓敏殷报婉吃枷沂桌饥撩销储冯撬疵坎蹭余粮录陷蔫权舆僳脏晾灰3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 与定理3.3等价的形式是: 如果周线 C的内部 是区域,(I(C)=D) 定理3.9 如果 C是周线, I(C)=D是区域 定理3.3? 橡谈眉豌冬廉趴鸳漂瓢亮廓曾挝零湾聊淤懦邢屿窍慑茨甜醇维成临街鸥禾3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 例1 解 根据柯西定理, 有 例2 证 由柯西－古萨定理, 裤瘫两琶涧痕析鲁心钨人纸煌儿曳州努带谤智煎浙姨视淡伪眠银稳愈底毛3-2柯西积分定理3-2柯西积分定理 * 由柯西－古萨定理, 由上节例4可知, 篡耻弦夫缆或墓令汹襄藐遏翰坟猖烘癸欠荆挖拄同峻料枝兑祥瓤鲁沮矩猩3-2柯西积分定理