千题百炼高考数学100个热点问题(一)第18炼利用导数解函数的最值Word版含解析.docVIP

第18炼 函数的最值 一、基础知识： 1、函数的最大值与最小值： （1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值 （2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 （4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。 （5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。 2．“最值”与“极值”的区别和联系 右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值． 4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点 5、利用导数求函数的最值步骤: 一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求在内的极值； （2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值 6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础 7、在比较的过程中也可简化步骤： （1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域 （2）由最值可构造恒成立的不等式： 例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式 二、典型例题： 例1：求函数的最值 思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：，令,解得： 的单调区间为： ，无最小值 小炼有话说：函数先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。 例2：已知函数,是的一个极值点，求： （1）实数的值 （2）判断在区间上是否存在最大值和最小值 解：（1） 是的一个极值点 （2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区间得到最值 解： ,令,解得：或 的单调区间为： 计算 小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管不在所给区间中，但也需要代入到中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。 例3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出 解：， （1）当时， 在单调递减 （2）当时， 在单调递增 或 小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1） 例4：求函数()的最值 思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较 解： 恒成立 当时， 可得：在单调递增，在单调递减 时, 当时， 在单调递减， 当时， 可得函数的最值为， 思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。 解：令 , 令，解得:或 的单调区间为： 的值域为 的值域为 ， 小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较 （2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。 例5：已知函数的定义域为，求在上的最值 思