信号与系统第六章离散时间系统的变换域分析方案.ppt

* * * * * * * * 图 零、 极点与单位冲激响应模式 式中, ζj是H(z)的零点；pi是H(z)的极点。由上式可见，除了系数外，H(z)可由其零、极点确定。将零点与极点标在z平面上，可得到离散系统的零、极点图。 离散系统 H(z) 的零、极点分布与时域特性 H(z)与h(n)是一对Z变换对,所以只要知道H(z)在z平面上的零、 极点分布情况,就可以知道系统的脉冲响应h(n)变化规律。假设式(6.7-5)的所有极点均为单极点， 利用部分分式展开 对应的单位脉冲响应为 1. 的极点 若 ，极点在z平面的单位圆内,hi(k)的幅度随k的增长而衰减；一对单位圆内共轭极点pi与pi*对应的hi(k)是衰减振荡。 2. 的极点 若 ，极点在z平面的单位圆上,hi(k)的幅度随k的增长不变；一对单位圆上的共轭极点pi与pi*对应的hi(k)是等幅振荡。 3. 的极点 若 ,极点在z平面的单位圆外,hi(k)的幅度随k的增长而增长；一对单位圆外共轭极点pi与pi*对应的hi(k)是增幅振荡。 图 H(z)的极点与h(k)模式的示意图 LTI系统的稳定性 稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关。稳 定系统也是一般系统设计的目标之一。 稳定性的概念有几种不同的提法，但是没有实质性的 差别。这里给出普遍采用的稳定系统定义： 有界输入产生 有界输出（简称BIBO）的系统。 如果对有界激励， 系统 的响应无界，系统就是不稳定的。LTI系统BIBO稳定的充 分必要条件是单位冲激响应绝对可积。 式中, M为一有界的实数。满足式的h(t)，一定是随时间衰 减的函数， 即 。 LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统 特性， 稳定性也必在其中。 因此既可由 的不同情 况， 也可由H(s)的极点分布，对系统稳定性分类。 系统稳定性分类 1. 稳定 由前面的零、极点分析可知，若H(s)的全部极点在s的 左半平面（不含jω轴），则单位冲激响应满足 系统稳定。 2. 不稳定 若H(s)有极点落在右半平面，或者jω轴、原点处有二 阶以上的重极点，则单位冲激响应为 系统不稳定。 3. 边（临）界稳定 若H(s)在原点或jω轴上有一阶极点，虽然单位冲激响 应 ， 但 例如纯LC网络， 其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的正 弦振荡。 因为边(临)界稳定是处在稳定与不稳定两种情 况之间， 所以称边（临）界稳定。 为使分类简化， 通常 将其归为非稳定系统。 稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系 系统函数 稳定系统的极点应位于s平面的左半平面，因此A(s)根的 实部应为负值。 它对应以下两种情况： (1) 实数根， 其因式为 (s+a) a0 (2) 共轭复根， 其因式为 (s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2=s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c 上式表明复数根只能共轭成对出现，否则不能保证b、 c 为实数。又因为复数根的实部应为负值(α0)，所以b、 c必为正值。综上所述，将D(s)分解后， 只有(s+a)、 (s2+bs+c)两种情况， 且a、 b、 c均为正值。这两类因式 相乘后，得到的多项式系数必然为正值，并且系数为零 值的可能性也受到了限制。由此我们可得到稳定系统与 分母多项式 D(s)的系数关系： D(s)的系数ai全部为正实数; (2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。 以上是系统稳定的必要条件而非充分条件。 如果给定H(s) 表示式，由此可对系统稳定性作出初步判断。若当系统为 一阶、 二阶系统时， 系数ai0就是系统稳定的充分必要条 件(i=0, 1)。 例 已知系统的H(s)如下，试判断是否为稳定系统？ 解：(1) 分母有负系数所以为非稳定系统； (2) D(s)中缺项， 所以不是稳定系统； D(s)满足稳定系统的必要条件， 是否稳定还需进一步 分解检验。 对D(s)进行分解D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4) 可见D(s)有一对正实部的共轭复根,所以系统(3)为非稳 定系统。 例：如图所示反馈系统， 讨论当k从零增长时系统稳 定性变化。 图例系统 解：Y(s)=V(s)G(s)，将V(s)