3.二次函数综合问题专题一 优录选拔综合训练(三)3.二次函数综合问题专题一 优录选拔综合训练(三).docVIP

专题一：二次函数与全等 例题1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1）， ∴设抛物线的解析式为线。 ∵点B（3，0）在抛物线上，∴，解得。 ∴该抛物线的解析式为，即。 （2）在中令x=0，得。∴C（0，3）。 ∴OB=OC=3。∴∠ABC=450。 过点B作BN⊥x轴交CD于点N（如图）， 则∠ABC=∠NBC=450。 ∵直线CD和直线CA关于直线BC对称， ∴∠ACB=∠NCB。 又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB（ASA）。 ∴BN=BA。 ∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0）， ∴A（1，0）。∴BN=BA=2。∴N（3，2）。 设直线CD的解析式为，∵C（0，3），N（3，2）在直线CD上，解得，。∴直线CD的解析式为。 （3）设P（2，p）。 ∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3）， ∴根据勾股定理，得，， 。 ∵PM2＋PB2＋PC2＝35，∴。 整理，得，解得。 ∴P（2，－2）或（2，）。 当P（2，－2）时，直线OP与该抛物线无交点；当P（2，）时，直线OP与该抛物线有两交点。 【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的顶点式，用待定系数法求解。 （2）由直线CD和直线CA关于直线BC对称，构造全等三角形：过点B作BN⊥x轴交CD于点N，求出点N的坐标，由点B，N的坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式。 （3）设P（2，p），根据勾股定理分别求出PM2、PB2和PC2，由PM2＋PB2＋PC2＝35，列式求解即可求得点P的坐标（2，－2）或（2，）。 当P（2，－2）时，直线OP的解析式为，与联立，得， 即。∵△=9－12=－3＜0，∴无解，即直线OP与抛物线无交点。 当P（2，）时，直线OP的解析式为，与联立，得， 即。∵△=289－108=181＞0，∴有两不相等的实数根，即直线OP与抛物线有两个交点。 例题2：如图，已知二次函数y2x3 与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，点P在抛物线上，且在对称轴右侧。以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标。 练习：1、如图二次函数y4x3与坐标轴交与A、B、C三点，C点关于对称轴的对称点为D点，点P在抛物线上，且∠PDB，求P点的坐标。 2、如图1，已知抛物线ya（x1）（x3）与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，若3OA·OB。 （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P（4,0）为x轴上一点，Q为第四象限的抛物线上一点，PQ交AC于点D，若∠PDA，求Q点的坐标。 专题二：二次函数与相似 例题3：已知抛物线yx与x轴交于点A、O两点，点P在抛物线上，∠APO，求P点坐标。 例题4:如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 【答案】解：(1)抛物线的解析式是y＝x2－3x。 (2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)， 得：4＝4k1，解得k1＝1。∴直线OB的解析式为y＝x。 ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。 ∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。 又点D在直线y＝x－m上，∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。