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目录(3号宋体，加粗，段前后均0.5行) （目录要自动生成，采用小4号宋体，1.5倍行距） 第一章 前言(一级标题，3号宋体，居中加粗，段前后均0.5行) ２ 1.1 课题背景(二级标题，小3号宋体加粗,段前后均0.5行) ２ 1.1.1 供水系统的发展概况（三级标题，宋体四号加粗,段前后均0.5行） ２ 第二章 XXX(一级标题，3号宋体，居中加粗，段前后均0.5行) ３ 2.1 XXX(二级标题，小3号宋体,加粗) ３ 2.1.1 XXX（三级标题，宋体四号加粗） ３ 第五章 结束语(3号宋体，居中加粗，段前后均0.5行) ５ 参考文献(3号宋体，居中加粗，段前后均0.5行) ６ 附录(3号宋体，居中加粗，段前后均0.5行) ７ 致谢(3号宋体，居中加粗，段前后均0.5行) ８ 摘要：本文简要介绍了不动点定理（压缩映射原理）及其相关原理，对不动点定理做出了一些简要推论，以及运用不动点定理解决数列相关问题及在数列中应用。 关键词：不动点定理；数列；应用 ABSTRACT：This article briefly describes the fixed point theorem (contraction mapping principle) and its related principles, made ??some brief inferences fixed point theorem, and the use of fixed point theorem to solve series of related issues and applications in the series. KEY WORDS: Fixed point theorem；series；Application 第一章 前言 不动点定理在整个数学中有着极其重要的作用与地位，通过对不动点定理的学习与进一步研究，对所学的知识有了更深层次的理解。运用所学的不动点定理，能解决很多数学问题和实际问题。本章我们从不动点定理的定义和定理出发，进一步介绍不动点定理的诸多应用，尤其是不动点定理在数列相关问题中的应用。 1.1 课题背景(二级标题，小3号宋体加粗,段前后均0.5行) 1.1.1 不动点理论 不动点理论是关于方程的一种一般的理论。在数学里处处都要用到解方程，比如函数方程，代数方程，微分方程等各种各样的方程。但是它们通常都能改写成f(x)=x的形式，这里的x是某一个适当空间的X中的点，f是从X到X的一个运动或者映射，把每一个点x移动到点f(x)。那么f(x)=x的解刚好是f在此运动下留在原地不动的点，所以称为不动点。因此，解方程的代数问题就变换成了找这几个不动点的几何问题。不动点理论主要研究的是不动点的有无，个数，求法以及性质。（中文用小4号宋体，英文用Times?New?Roman 1.1.2 不动点的计算 除了压缩原理外，其他各种不动点定理都没有给出不动点的具体计算方法，由于各种应用的需要，计算不动点的方法也正在蓬勃的发展。 第二章 常见的不动点定理 2.1 常见的不动点定理 我们目前常见的不动点定理一般有3种，分别是压缩映射原理，Brouwer 不动点定理，Kakutani不动点定理。 2.1.1 压缩映射原理 压缩映射原理(C.(C.-)Eacute;.皮卡(1890)；S.巴拿赫(1922))：设X是一个完备的度量空间，每两点的距离被映射?:Χ→Χ至少压缩λ倍，即d(?(x)，?(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么?必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列x1=?(x0)，x2=?(x1)，...，xn=?(x(n-1))，...，这序列一定收敛到那个不动点。 许多种方程的解的存在性、惟一性以及迭代解法都是以这条原理作为理论基础。由于分析学的需要，此定理已被推广应用到集值映射、概率度量空间、映射族、非扩展映射等各个方面。 2.1.2 Brouwer不动点定理 Brouwer不动点定理(1910): 设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。 代数基本定理可以用此定理来证明：复系数的代数方程一定有复数解。把Brouwer定理中的欧氏空间换成Banach空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，经常用于偏微分方程理论。另外这些定理可以从单值映射推广到集值映射，并且不止用于微分方程理论，还经常用于数理经济学和对策论。 2.1.3 Kakutani不动点定理 Kakutani不动点定理: 设C是R^n中的紧凸集, f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射. 则至少存在一点x*, 使得x*∈f(x*