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4.3 关系的性质 自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 自反性与反自反性 实例 例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R1＝{1,1,2,2}R2＝{1,1,2,2,3,3,1,2}R3＝{1,3} 对称性与反对称性 实例 例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{1,1,2,2}， R2＝{1,1,1,2,2,1} R3＝{1,2,1,3}， R4＝{1,2,2,1,1,3} 传递性 实例 例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{1,1,2,2} R2＝{1,2,2,3} R3＝{1,3} 关系性质的充要条件 关系性质判别 实例 运算与性质的关系 4.4 关系的闭包 闭包定义 闭包的构造方法 集合表示 矩阵表示 图表示 闭包的性质 闭包定义 定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R?, 使得R?满足以下条件：（1）R?是自反的（对称的或传递的）（2）R?R?（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系 R?? 有 R??R??. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R). 闭包的构造方法 闭包的构造方法（续） 闭包的构造方法（续） 实例 * * 定义 设R为A上的关系,?(1) 若?x(x∈A→x,x?R), 则称R在A上是自反的.(2) 若?x(x∈A→x,x?R), 则称R在A上是反自反的. 实例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系 R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的 定义 设R为A上的关系,? (1) 若?x?y(x,y∈A∧x,y∈R→y,x∈R), 则称R为A上对称的关系. (2) 若x?y(x,y∈A∧x,y∈R∧y,x∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系. 实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系? 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.  R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称. 定义 设R为A上的关系, 若 ?x?y?z(x,y,z∈A∧x,y∈R∧y,z∈R→x,z∈R),则称R是A上的传递关系. 实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系? 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系 R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系 设R为A上的关系, 则 R在A上自反当且仅当 IA ?R R在A上反自反当且仅当 R∩IA=? R在A上对称当且仅当 R=R?1 R在A上反对称当且仅当 R∩R?1?IA R在A上传递当且仅当 R?R?R  关系图 关系 矩阵 表达式 传递 反对称 对称 反自反 自反  IA?R R∩IA=? R=R?1 R∩R?1? IA R?R?R 主对角线元素 全是1 主对角线元素全是0 矩阵是对称矩阵 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 对M2中1所在位置, M中相应位置都是1 每个顶点都有 环 每个顶点都没有环 如果两个顶点之间有边, 是一对方向相反的边(无单边) 如果两点之间有边, 是一条有向边(无双向边) 如果顶点 xi 连通到xk , 则从 xi到 xk 有边 例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由. (2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的. (1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递. (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递. R1°R2 R1?R2 R1∪R2 R1∩R2 R1?1 传递性 反对称性 对称性 反自反性 自反性 × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × × × √ √ √ × √ × × × 定理1 设R为A上的关系, 则有 r(R) = R∪R0 s(R) = R∪R?1 t(R) = R∪R2∪R3∪… 说明： 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多 不超过 Rn. 若 R是自反的，则 r(R)=R; 若R是对称的，则