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因为从式(14)和式(15)可得： 或 那么无论右乘 ，或左乘 ，式(16)都成立，故 是非奇异阵，其逆存在，且等于 。 4） 见式（13）。 在这里， 一般是不能交换的。 2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程式的解 线性时变系统的非齐次状态方程为： 且 的元素在时间区间 内分段连续，则其解为： （17） （18） 证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态 的转移和控制作用激励的状态 的转移两部分组成。即 （19） 代入式(17)，有： 即 可知： 在t。～t区间积分，有： 于是 在式(19)中令 ，并注意到中 ，可知 ，这样由上式即可得到式(18)。 2.4.5 状态转移矩阵的计算 因为 A 是常数矩阵，所以上式直接表示为： 在定常系统中，齐次状态方程 的解是： 式中， ，只与 有关。 在时变系统中，齐次状态方程 的解，一般的表示为： 前已证明，只有当 是可交换时，即 （20） 才有： 在一般情况下 对于不满足式(20)的时变系统， 的计算，一般采用级数近 似法，即 （21） 这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)的矩阵方 程和式(14)的起始条件即可。 可知式(21)满足式(13)和式(14)。 2.5 离散时间系统状态方程的解 2.5.1 递推法 线性定常离散时问控制系统的状态方程为： 这个一阵差分方程 的解为： 或 （1） 即 （2） 2.5.2 Z 变换法 对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。 设定常离散系统的状态方程是： 对上式两端进行 Z 变换，有： 或 所以： 对上式两端取 Z 的反变换，得： (3) 对式2)和式(3)比较，有： （4） （5） 如果要获得采样瞬时之问的状态和输出，只需在此采样周期内，即 在 内，利用连续状态方程解的表达式： 为了突出地表示f的有效期在 ，可以令 (这里0≤△≤1)于是上式变成： （6） 显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使△的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。 将式(2)和式(3)比较，有 （7） （8） 二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化 2.6.1 离散化方法 对于连续时间的状态空间表达式： 将其离散化之后．则得离散时间状态空问表达式为： C 和 D 则仍与式(1)中的一样。 （1） （2） 式中 （4） （3） 2.6.2 近似离散化 在采样周期 T 较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时， 离散化的状态方程可近似表示为： （5） 也就是说： （6） （7） 证明 根据导数的定义： 以此代入 中，得 现讨论 这一段的导数，有： 整理后，即得式(5)。 2.6.3 线性时变系统的离散化 1．线性时变系统离散化 设原系统状态空间表达式为： 离散化之后的状态空间表达式为： 仿照时不变系统的证明方法，可以求出上式中的七 ， 这里直接写出其结果如下： （8） （11） （9） （10） 式中， 区段内的状态转移矩阵，可以在 附近用泰勒级数展开作近似计算： （12） 考虑到 的下列性质： 将以上诸式代人式(12)，并在 T 很小时忽