高等数学BIT7-3剖析.ppt

偏导数的本质 二、高阶偏导数 三、小结 作 业 习题7-2 1（1）（4）（6）； 3, 4, 6, 8 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 作 业 习题7-3 1（1）（3）； 2； 3；5；8 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 证 定理3 （充分条件）如果函数 ) , ( y x f z = 的偏 导数 、 在点 ) , ( y x 连续，则该函数在点 ) , ( y x 可微分． 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 （依偏导数的连续性） 其中 1 e 为 y x D D , 的函数 , 且当 0 , 0 D D y x 时， 0 1 e . 故函数 ) , ( y x f z = 在点 ) , ( y x 处可微 . 同理 当 时， , 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 例 1 计算函数 xy e z = 在点 ) 1 , 2 ( 处的全微分 . 解 所求全微分 例 2 求函数 ) 2 cos( y x y z - = ，当 4 p = x ， p = y ， 4 p = dx ， p = dy 时的全微分． . 解 例 3 计算函数 yz e y x u + + = 2 sin 的全微分 . 解 所求全微分 例 4 试证函数 在点 ) 0 , 0 ( 连续且偏导数存在，但偏导数在点 ) 0 , 0 ( 不连续，而 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微 . 证 令 则 故函数在点 ) 0 , 0 ( 连续 , 同理 当点 ) , ( y x P 沿直线 x y = 趋于 ) 0 , 0 ( 时 , 不存在. 当 ) 0 , 0 ( ) , ( y x 时， 所以 ) , ( y x f x 在 ) 0 , 0 ( 不连续 . 同理可证 ) , ( y x f y 在 ) 0 , 0 ( 不连续 . 故 ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 可微 12/16 三、连续、可导与可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 TH2 TH3 可微的定义 例？ 可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体 例4.计算 的近似值. 解: 设 ,则 取 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 2. 误差估计 利用 令 z 的绝对误差界约为 z 的相对误差界约为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 例 5 解 按定义可知： ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， x z y 0 ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L： L = tan? . y =y0 同理， . M Tx 固定 y =y0 偏导数的几何意义 M ? z= f (x,y) L x =x0 固定 x =x0 Tx . x z y 0 偏导数的几何意义 M ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L = tan? . x =x0 固定 x =x0 Tx ? Ty . x z y 0 偏导数的几何意义 几何意义: 偏导数的几何意义说明 二元函数的偏导数存在，只是表明函数沿着x轴和y轴方向是连续的，而二元函数在一点处连续必须是沿着空间的任何方向均连续，故由偏导数存在不能推出函数连续。 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏