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中值定理与导数的应用 §6.2 柯西中值定理和不定式极限 一、柯西(Cauchy)中值定理 二. 洛必达法则 三、小结 一、柯西(Cauchy)中值定理 二. 洛必达法则 1. 2. 三、小结 * 柯西（Cauchy）中值定理 几何解释: Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例 证 作辅助函数 例4 证 分析: 结论可变形为 例 证明: 定义 例如, 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 定理 例如 证 定义辅助函数 则有 例1 解 例2 解 例3 解 定理 证明分析: 证明: 例4 解 类似地证明, 可类似地给出, 例5 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 ①不是不定式的极限不能应用洛比达法则计算, 否则会导致错误. ②在应用洛必达法则计算不定式的极限时,可能会出现 说明: 例7 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤: 例8 解 步骤: 步骤: 例9 解 例10 解 例11 解 例12 解 极限不存在 洛必达法则失效。 注意：洛必达法则的使用条件． 说明: 例 解 错 解 例 解: 由归结原理: 求极限 先求函数极限 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理来源于同一个几何模型。并且它们有如下关系: 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. * *
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