极限的解法与技巧_汇总.docVIP

极限的求法与技巧 极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。 1.运用极限的定义 例：用极限定义证明: 证: 由 取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2.利用单调有界准则求极限 预备知识：若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数，有 . 此方法的解题程序为： 1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列单调有界； 2、设的极限存在，记为代入给定的表达式中，则该式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。 例：若序列的项满足且,试证有极限并求此极限。 解 由 用数学归纳法证明 需注意 . 又 为单调减函数且有下界。 令其极限为 由 有： 即 从而 . 3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系： 等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在， 则 也存在，且有= 例:求极限 解: = 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下： 若 (I) (II) (III)若 B≠0 则： （IV） （c为常数） 上述性质对于 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例：求 解: = 5、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形： 例：求下列函数极限 6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限 此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。 例：求 . 解 = = = = = 例：求极限 . 解 = = = = = 7、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)≠0 则 例: 求下列极限 ① ② 解: 由 故 由 故 = 8. 变量替换 例 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换. 解 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 9. 分段函数的极限 例 设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 10、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。 例：求下列函数的极限 （2） 11、洛必达法则（适用于未定式极限） 定理：若 此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。 4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。 例： 求下列函数的极限 ① ② 解：①令f(x)= , g(x)= l , 由于 但 从而运用洛必达法则两次后得到 ② 由 故此例属于型，由洛必达法则有： = 注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。 [解法二]: = 注：此解法利用